مثلثات بخش 1-2-کاربرد مثلثات در مساحت

در مطلب قبلی در مورد کاربرد نسبتهای مثلثاتی در محاسبه مسافت و ارتفاع مثالهایی را حل کردیم ، الان در این مقاله می خواهم کاربرد نسبتهای مثلثاتی را در محاسبه مساحت ها با استفاده از چند مثال بررسی کنیم . ابتدا مساحت مثلث را د نظر می گیریم

از سالهای قبل می دانیم که مساحت یک مثلث مانند ABC بر اساس فرمول زیر محاسبه می شود :

مثال 1: در مثلث زیر با استفاده از داده های داده شده در شکل ، مساحت مثلث را حساب کنید .

خوب اینجا ما بر اساس فرمول مساحت مثلث که در بالا نوشتیم طول قاعده مشخص است ، اما ارتفاع ما یعنی AH معلوم نیست ، برای اینکار ما مثلث ABH را در نظر می گیریم ، این مثلث یک مثلث قائم الزاویه است .از طرف دیگر یکی از زوایای آن 50 درجه است .وتر این مثلث هم معلوم است و برابر 6 متر است . حالا ارتفاع را می توانیم به کمک سینوس حساب کنیم . ابتدا با ماشین حساب مقدار سینوس 50 درجه را حساب می کنیم که عدد تقریبی [math]0.76[/math] است .

[math] Sin50 = 0.76[/math]

[math]\left\{ \begin{array}{l}Sin50 = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AH}}{6} \\Sin50 = 0.76 \\\end{array} \right\} \Rightarrow 0.76 = \frac{{AH}}{6} \Rightarrow AH = 6 \times 0.76 = 4.56[/math]

با توجه به محاسبه ارتفاع مثلث پس مساحت مثلث بصورت زیر خواهد بود :

[math] {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \times BC = \frac{1}{2} \times 4.56 \times 8 = 18.24[/math]

یه بار دیگر مساله بالا را مرور می کنیم ، در مساله بالا ارتفاع چگونه بدست می آمد ؟

[math] Sin50 = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times Sin50[/math]

از طرفی دیگر می دانیم مساحت مثلث هم برابر :

[math] {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \times BC[/math]

اگر این دوتا را در کنار هم قرار دهیم به فرمول جدیدی می رسیم :

[math]\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \times BC \\Sin50 = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times Sin50 \\\end{array} \right\}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times Sin50[/math]

نتیجه گیری یک فرمول برای محاسبه مساحت مثلث :

با استفاده از مثال بالا و نتیجه گیری که حاصل شد اگر فرض کنیم مثلت ABC زیر داده شده باشد و AH ار تفاع این مثلث باشد :

 

[math]\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AH \times BC \\SinB = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow AH = AB \times SinB \\\end{array} \right\}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times SinB \\[/math]

پیس فرمول جدیدی برای محاسبه مساحت مثلث بر اساس نسبتهای مثلثاتی بدست آوردیم .این فرمول بر اساس اندازه دو ضلع و زاویه بین آنها محاسبه می شود . دقت کنید هر گاه اندازه دو ضلع مثلث معلوم باشد و همچنین زاویه بین آنها معلوم باشد می توان از فرمول بالا استفاده کرد.

در فرمول بالا اندازه AB,BC   باید معلوم باشد و زاویه B هم زاویه ای بین این دو ضلع است.

مثال 2: فرض کنید [math] Sin75 = 0.96[/math] . مساحت مثلث ABC در شکل زیر را بدست آورید .

با استفاده از فرمول جدیدی که برای محاسبه مساحت مثلث بدست اوریم با داشتن سینوس، دیگه نیازی نیست که ارتفاع مثلث را حساب کنیم .اینجا سینوس 75 درجه با استفاده از ماشین حساب بدست آورده ایم و از طرفی دو ضلع زاویه هم معلوم هست پس براحتی می توان مساحت مثلث را حساب کرد :

[math] {S_{ABC}} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times Sin75 = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times 0.96 = 7.2[/math]

مثال 3:مساحت مثلث ABC زیر را پیدا کنید .

از زاویه B ارتفاع و در واقع خط عمود رسم می کنیم دو مثلث قائم الزاویه بدست می آید .اندازه BH را با استفاده از زاویه 30 درجه بدست می آوریم .

 

[math]\left\{ \begin{array}{l}Sin30 = \frac{{BH}}{{AB}} \\Sin30 = \frac{1}{2} \\\end{array} \right\} \to \frac{1}{2} = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{{BH}}{3} \Rightarrow BH = \frac{3}{2} \\[/math]

اکنون می توانیم با استفاده از کسینوس که برابر ضلع مجاور تقسیم بر وتر هست ضلع دیگر را حساب کنیم :

[math]\left\{ \begin{array}{l}Cos30 = \frac{{AH}}{{AB}} \\Cos30 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\end{array} \right\} \to \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AH}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{AH}}{3} \Rightarrow AH = \frac{3}{2}\sqrt 3 \\AH = 2AC \Rightarrow AH = 3\sqrt 3 \\[/math]

اکنون با استفاده از معلوماتی که برای مثلث بدست اوردیم می توانیم مساحت مثلث را حساب کنیم :

[math] {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BH \times AC = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3\sqrt 3 = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}[/math]