تعریف پیوستگی
مفهوم پیوستگی به زبان عامیانه
هر گاه بخواهیم نموداری را رسم کنیم ،اگر رسم نمودار به گونه ای باشد که در هنگام رسم نمودار مجبور نباشیم قلم را از روی کاغذ برداریم ،نمودار ما پیوسته است مثل نمودارهای زیر :
در هر کدام از نمودارهای فوق وقتی می خواهیم نمودار را رسم کنیم نیاز نیست قلم را از روی کاغذ برداریم و می توانیم پیوسته و و ادامه دار نمودار را رسم کنیم .
اما اگر بخواهیم نموداری رسم کنیم که مجبور شویم حداقل یکبار قلم را برداریم مثلا ابتدا یک تکه رسم می کنیم و سپس قلم را برمی داریم تا تکه بعدی را رسم کنیم مثل نمودار زیر :
اینجا دیگه نمودار ما پیوسته نیست .چون مجبور شدیم برای رسم این نمودار چند بار قلم را برداریم تا تکه بعدی نمودار را رسم کنیم.
اکنون با این مقدمه وارد تعریف ریاضی می شویم .ما در بحث حد گفتیم که حد یک تابع در نقطه x=a مستقل از این است که تابع در x=a تعریف شده باشد یا تعریف نشده باشد.
مثال 1:نمودارهای زیر را ببینید و حد تابع و مقدار تابع در نقطه خواسته شده را حساب کنید.
نکته 1: در توابع k , f که در بالا ذکر کردیم پیوسته بودند این دو تابع در نقطه x=2 دارای حد بودند و حد آنها با مقدار تابع در نقطه x=2 برابر بود .
نکته 2:در هر دو نمودار f,k هیچ گونه گسستگی وجود نداشت و نمودارشون پیوسته بود .
خوب حالا وقتشه که تعریف ریاضی پیوستگی را مطرح کنیم .
تعریف پیوستگی :
گوییم تابع f در نقطه x=a پیوسته است هر گاه [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a) [/math]
بنابر این برای پیوسته بودن تابع f در نقطه a، باید شرایط زیر برقرار باشند :
الف)تابع f در a تعریف شده باشد .
ب)حد تابع f در a موجود باشد یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) [/math]
پ)مقدار حد تابع در نقطه x=a با مقدار [math]f(a)[/math] برابر باشد. یعنی :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = f(a) [/math]
تعریف پیوستگی فوق را می توان به صورت زیر خلاصه کرد .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ – }} f(x) = f(a) [/math] |
[math]f(a)[/math] تعریف شده و عددی حقیقی باشد. |
مثال 2:پیوستگی توابع زیر را در نقطه x=3بررسی کنید.
[math] 1)f(x) = \frac{{{x^2} – 9}}{{x – 3}} [/math]
تابع f در نقطه x=3 تعریف نشده است چون x=3 ریشه مخرج است پس چون تابع در این نقطه تعریف نشده دیگه سراغ بقیه شرطها نمی رویم در نتیجه تابع f در x=3 پیوسته نیست.
[math] 2)g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} – 9}}{{x – 3}}}&{x \ne 3}\\6&{x = 3}\end{array}} \right\} [/math]
تابع g چند ضابطه ای است.
ابتدا مقدار تابع g در x=3 را بررسی می کنیم . طبق ضابطه وقتی x=3 مقدار تابع برابر عدد 6 است پس در این نقطه تعریف شده است .
حالا مرحله دوم باید حد تابع را در x=3 بررسی کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} – 9}}{{x – 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x – 3)(x + 3)}}{{(x – 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6 [/math]
همانطور که می بینید [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} g(x) = 6 = g(3) [/math]
پس تابع g پیوسته است .
مثال 3: به ازای کدام مقدار k تابع زیر در نقطه x=2 پیوسته است ؟
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k{x^2}}&{x \le 2}\\{2x + k}&{x > 2}\end{array}} \right\} [/math]
ابتدا باید [math]f(2)[/math] را حساب کنیم برای x=2 طبق ضابطه تابع باید
[math] x = 2 \Rightarrow f(x) = k{x^2} \to f(2) = 4k [/math]
حالا باید حد تابع را در نقطه x=2 حساب کنیم و برابر [math]f(2)[/math] قرار دهیم.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = f(2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} k{x^2} = 4k\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 2x + k = 4 + k [/math]
از تساوی زیر :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = f(2)\\4k = 4 + k = 4k [/math]
از حل معادله [math]4+k=4k[/math]مقدار k برابر [math] k = \frac{4}{3} [/math] خواهد بود.
مثال 4:در نمودار زیر پیوستگی تابع را در نقاط [math]x=-2,x=0,x=3[/math] را بررسی کنید.
[math]f(-2)=2[/math] اما حد در نقطه x=-2 وجود ندارد پس در این نقطه پیوسته نیست .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ -}} f(x) = 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – {2^ + }} f(x) = – 1 [/math] |
در نقطه [math]x=-2[/math] |
[math] f(0) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 1 [/math] تابع در این نقطه پیوسته است |
در نقطه [math]x=0 [/math] |
[math] f(3) = – 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = 0 [/math] در این نقطه پیوسته نیست . |
در نقطه [math]x=3 [/math] |
مثال 5:تابع [math] f(x) = ([x] – a)[x] [/math] در نقطه x=1 پیوسته است مقدار a را بدست آورید.
ابتدا مقدار تابع در نقطه x=1 را حساب می کنیم
[math] f(1) = (1 – a)(1) = 1 – a[/math]
اکنون حد چپ و راست را حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} ([x] – a)[x] = (1 – a)(1) = 1 – a\\x \to {1^ + } \to 1 \le x < 2 \Rightarrow [x] = 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} ([x] – a)[x] = (0 – a)[0] = 0\\x \to {1^ – } \to 0 \le x < 1 \Rightarrow [x] = 0 [/math]
حد چپ و راست باید برابر باشند پس :
[math] 1 – a = 0 \Rightarrow a = 1 [/math]