تعریف تابع از دیدگاه ریاضی-تعریف جبری ویا ضابطه ای تابع
تعریف تابع از دیدگاه ریاضی-تعریف جبری ویا ضابطه ای تابع
من در دو مطلب قبلی در مورد توابعی صحبت کردم که دامنه و برد آنها متناهی بود .اکنون در ادامه بحث با توابعی آشنا خواهیم شد که دامنه و برد آنها نامتناهی است.
ما قبلا در مورد مجموعه متناهی و نامتناهی مفصل صحبت کرده ایم.
چون دامنه و برد نامتناهی هستند پس دیگر نمی توانیم به صورت هر یک از روشهای قبلی (نمودار ون-جدول-نمودار مختصاتی-زوج مرتب) تمام عضوها را بنویسیم ، لذا نیاز به نمایش دیگری داریم که بدون نوشتن تمام عضوها تابع کاملا مشخص شود .
با یک مثال گام به گام مطلب را توضیح می دهیم .
دنباله شکل های زیر را در نظر بگیرید:
… | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | شماره شکل |
… | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | تعداد دایره |
این یک دنباله است که دارای جمله عمومی بصورت [math]2n-1[/math] می باشد.لذا شکل صد ام دارای 199 دایره خواهد بود .
[math]\left\{ \begin{array}{l}2n – 1\\n = 100\end{array} \right\} \to 2 \times 100 – 1 = 199[/math]
پس جدول بالا را باز می توانیم بصورت زیر دوباره بنویسیم:
… | n | 100 | … | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | شماره شکل | |
… | 2n-1 | 199 | … | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 | تعداد دایره |
خوب در جدول بالا اگر دقت کنید هم ردیف اول که نشان دهنده دامنه و هم ردیف دوم که نشان دهنده برد تابع است ، هر دو نامتناهی هستند .
حالا همین مورد را بصورت زوج مرتب بررسی می کنیم:
[math] \{ (1,1),(2,3),(3,5),(4,7),(5,9),….,(6,11),….,(100,199),…(n,2n – 1),…\}[/math]
نمودار ون بصورت زیر خواهد بود :
دامنه و برد تابع بصورت زیر خواهد بود :
دامنه تابع برابر مجموعه اعداد طبیعی است[math] \{ 1,2,3,4,5,6,…\}[/math]
برد تابع برابر مجموعه اعداد طبیعی فرد است [math] \{ 1,3,5,7,…\}[/math]
همانطور که می بینید ما اینجا با دامنه و برد نامتنهای مواجه هستیم ، یعنی نمی دانیم مجموعه دامنه و برد ما دقیقا چند عضو دارند.لذا برای این کار باید از زبان ریاضی یا به تعبیری تابع را به صورت یک ضابطه ریاضی تعریف کنیم.
در مثال قبل ما جمله عمومی دنباله را بدست آوردیم.پس رابطه بین دامنه و برد تابع را می توان به صورت یک عبارت ریاضی به شکل [math]f(n)=2n-1[/math]
نوشت که در آن [math]n[/math] یک عدد طبیعی است.این گونه نمایش را نمایش جبری یا ضابطه ای تابع می گوییم.
دقت کنید برای مشخص کردن تابع [math]f[/math] به صورت جبری یا ضابطه ای باید به دامنه و برد آن توجه کنیم.
تعریف تابع از دیدگاه ریاضی یا ضابطه
1-دو مجموعه غیر تهی (ناتهی) [math]A,B[/math] را در نظر بگیرید
f را تابعی از مجموعه [math]A[/math] به مجموعه [math]B[/math] می گویند .هر گاه به ازای هر عضو از مجموعه [math]A[/math] دقیقا یک عضو از مجموعه [math]B[/math] را نسبت می دهد.
[math]\[f:A \to B\][/math]
به مجموعه [math]A[/math] دامنه تابع گفته می شود.
به مجموعه عضوهایی از [math]B[/math] که به عضو یا عضوهایی از [math]A[/math] نسبت داده شده اند ، برد تابع می گوییم.
یعنی مجموعه A در واقع ورودیهایی برای یک فرآیند هست که ما به آن می گوییم f و پس از انجام عملهایی بر روی عناصر مجموعه A آنگاه عناصر مجموعه B را خروجی تابع می نامیم.
در واقع رابطه زوج مرتب یک تابع بصورت (خروجی ،ورودی) است و به زبان ریاضی (x,f(x)) است.
تفاوت نمایش ضابطه ای با سایر نمایش ها
تفاوت اساسی بین نمایش ضابطه ای ، با نمایشهای جدولی،زوج مرتب،مختصاتی و نمودار ون آن است که در هر چهار نمایش قبلی خود تابع [math]f[/math] و دامنه و برد آن کاملا مشخص هستند،اما در نمایش ضابطه ای یا جبری ما فقط ضابطه یا معادله را داریم و اطلاعی از دامنه و برد نداریم و در اینجا باید با استفاده از ضایطه یا معادله تابع ، دامنه و برد تابع را مشخص کنیم که در پست های بعدی مفصل به آن می پردازیم.
مثلا [math] f(x) = \frac{1}{{x + 1}}[/math] تابعی است که به ورودی یک واحد اضافه می کند و سپس معکوس عبارت را بدست می آورد.این در واقع یک قانون است که به جای [math]x[/math] (ورودی ها) همه اعداد حقیقی (به غیر از منفی یک،چون مخرج را صفر می کند) را می توان قرار داد.
و خروجی ها نیز اعداد حقیقی می باشند ،لذا این تابع بطور دقیق بصورت ضابطه زیر نشان داده می شود
[math]f:R – \{ 1\} \to R\\y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}[/math]
پس در تابع بالا ما می توانیم هر عددی به غیر از منفی یک را به عنوان ورودی در نظر بگیریم:
[math]y = f(x) = \frac{1}{{x + 1}}\\x = 3 \to f(3) = \frac{1}{{3 + 1}} = \frac{1}{4}\\x = 5 \to f(5) = \frac{1}{{5 + 1}} = \frac{1}{6}\\x = 0 \to f(0) = \frac{1}{{0 + 1}} = \frac{1}{1} = 1\\x = – 2 \to f( – 2) = \frac{1}{{ – 2 + 1}} = \frac{1}{{ – 1}} = – 1\\x = – 1 \to f( – 1) = \frac{1}{{ – 1 + 1}} = \frac{1}{0}\\[/math]
همانطور که در بالا می بینیم تابع به ازای [math]x=-1[/math] تعریف نشده است .
تمرینات
1-در نمودار روبرو
الف) دامنه و برد تابع را حساب کنید
ب)[math]f(-3)[/math] را حساب کنید .
2-تابع f بصورت زیر تعریف شده است :
[math] f = \{ …,\left( { – 2,4} \right),\left( { – 1,2} \right),\left( {0,0} \right),\left( {1, – 2} \right),…\}[/math]
الف)دامنه و برد تابع را مشخص کنید.
ب)نمایش جبری یا ضابطه ای برای تابع بنویسید.
ج)حاصل عبارت [math]2f(-2)[/math] را بدست آورید .
3-تابع f با ضابطه مقابل [math] f = \{ (x,y)|x \in \{ 0,1,2,3\} ,y = \frac{x}{2} – 1\}[/math] تعریف شده است دامنه و برد این تابع را بدست آورید .و تابع را با زوج مرتب نمایش دهید.
4-اگر درباره تابع f داشته باشیم : [math] f(0) = 2,f(1) = 5,f( – 2) = \frac{1}{3},f(4) = 3[/math] این تابع را بصورت زوج مرتب بنویسید.
5-دو تابع مثال بزنید که دامنه و برد آنها یکی باشد،ولی هیچ دو زوج مرتب مشترکی نداشته باشند.