رسم نمودار تابع جزء صحیح در حالت کلی
رسم نمودار تابع جزء صحیح در حالت کلی
برای رسم توابع جزء صحیح در یک فاصله مشخص ،فاصله را به فاصله های کوچک و مناسب تجزیه می کنیم تا بتوانیم در آن فاصله های جزء صحیح را حدف کنیم. برای این کار
1-ابتدا فاصله داده شده را به فواصل مناسب تجزیه می کنیم.
2- عبارت داخل جزء صحیح را بین اعداد صحیح متوالی قرار می دهیم
3-حدود [math]x[/math] را پیدا می کنیم.
4-در این حدود [math]x[/math] ،ضابطه بدون جزء صحیح مشخص می شود و آن را رسم می کنیم.
نکته : تجزیه فاصله داده شده را اغلب به فاصله های به طول 1 تجزیه می کنیم.
مثال 1: نمودار تابع [math]y=[x][/math] را در فاصله [math] – 2 \le x \le 2 [/math] رسم کنید.
ابتدا فاصله داده را به فاصله های زیر به طول 1 تجزیه می کنیم:
[math]1 \le x < 2\\0 \le x < 1\\- 1 \le x < 0\\- 2 \le x < – 1[/math]
اکنون به ازای هر فاصله مقدار عبارت جزء صحیح[math]y=[x][/math] را حساب می کنیم.
[math]\left\{ \begin{array}{l} – 2 \le x < – 1 \Rightarrow \left[ x \right] = – 2\\y = \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = – 2\\ \\ \left\{ \begin{array}{l}- 1 \le x < 0 \Rightarrow \left[ x \right] = – 1\\y = \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = – 1\\\\\left\{ \begin{array}{l}0 \le x < 1 \Rightarrow \left[ x \right] = 0\\y = \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = 0\\\\\left\{\begin{array}{l}1 \le x < 2 \Rightarrow \left[ x \right] = 1\\y = \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = 1\\[/math]
اکنون نمودار تابع را به سادگی در هر فاصله داده شده می توانیم رسم کنیم.
مطابق شکل بالا در هر فاصله بدست آمده خط مورد نظر را رسم می کنیم تا نمودار جزء صحیح ما بدست آید.
مثال 2: نمودار تابع [math]y=x-[x][/math] را در فاصله [math] – 2 \le x \le 2 [/math] را رسم کنید.
مطابق مثال 1 فاصله [math] – 2 \le x \le 2 [/math] را تجزیه می کنیم و سپس در هر فاصله جزء صحیح را حساب می کنیم:
[math]\left\{ \begin{array}{l} – 2 \le x < – 1 \Rightarrow \left[ x \right] = – 2\\y = x – \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = x – ( – 2) = x + 2[/math]
نمودار این فاصله بصورت زیر خواهد بود.
در شکل بالا دقت کنید که ما از خط بدست آمده [math]y=x+2[/math] فقط بازه [math] – 2 \le x < – 1 [/math] را لازم داریم که بصورت خط با دایره توپر و دایره سفید مشخص شده است .
فاصله دوم :
[math]\left\{ \begin{array}{l} – 1 \le x < 0 \Rightarrow \left[ x \right] = – 1\\y = x – \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = x – ( – 1) = x + 1[/math]
در شکل زیر دقت کنید که ما از خط بدست آمده [math]y=x+1[/math] فقط بازه [math] – 1 \le x < 0[/math] را لازم داریم که بصورت خط با دایره توپر و دایره سفید مشخص شده است .
فاصله سوم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}0 \le x < 1 \Rightarrow \left[ x \right] = 0\\y = x – \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = x – 0 = x[/math]
در شکل زیر دقت کنید که ما از خط بدست آمده [math]y=x [/math] فقط بازه [math] 0\le x < 1[/math] را لازم داریم که بصورت خط با دایره توپر و دایره سفید مشخص شده است .
و سرانجام فاصله چهارم
[math]\left\{ \begin{array}{l}1 \le x < 2 \Rightarrow \left[ x \right] = 1\\y = x – \left[ x \right]\end{array} \right\} \to y = x – 1[/math]
در شکل زیر دقت کنید که ما از خط بدست آمده [math]y=x-1 [/math] فقط بازه [math]1\le x < 2[/math] را لازم داریم که بصورت خط با دایره توپر و دایره سفید مشخص شده است .
سرانجام شکل نهایی نمودار ما بصورت زیر خواهد بود
مثال 3 نمودار تابع [math] y = x – \left[ {\frac{x}{3} + 1} \right] + 2 [/math] را در فاصله [math][-3,3)[/math] رسم نمایید . ( امتحان حساب دبیرستان علامه حلی 9 سال تحصیلی96)
پاسخ :
ابتدا عبارت بالا را طبق خواص جزء صحیح ساده می کنیم :
[math]y = x – \left[ {\frac{x}{3} + 1} \right] + 2 \Rightarrow y = x – \left[ {\frac{x}{3}} \right] – 1 + 2 = x – \left[ {\frac{x}{3}} \right] + 1[/math]
اینجا یه نکته داره می دانیم که [math] \left[ {\frac{x}{3}} \right] [/math] باید عدد صحیح باشد .
[math] \left[ {\frac{x}{3}} \right] \in Z [/math]
در نتیجه ما اینجا بازه ها را بر اساس [math] \frac{x}{3} [/math]مورد بررسی قرار می دهیم.
[math]- 3 \le x < 3 \Rightarrow – 1 \le \frac{x}{3} < 1[/math]
اکنون فاصله بالا را تفکیک می کنیم:
فاصله اول :
[math]- 1 \le \frac{x}{3} < 0 \Rightarrow – 3 \le x < 0 \Rightarrow \left[ {\frac{x}{3}} \right] = – 1\\y = x – \left[ {\frac{x}{3}} \right] + 1y = x – ( – 1) + 1 = x + 2[/math]
فاصله دوم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}0 \le \frac{x}{3} < 1 \Rightarrow 0 \le x < 3 \Rightarrow \left[ {\frac{x}{3}} \right] = 0\\y = x – \left[ {\frac{x}{3}} \right] + 1\end{array} \right\}y = x – 0 + 1 = x + 1[/math]
