تمرینات بخش سهمی-نمونه سوالات امتحانی
1-راس سهمی وخط تقارن سهمی روبرو را بدست آورید.
[math] y = – 2{(x + 3)^2} + 4[/math]
ما گفتیم که اگر معادله ما به فرم [math] y = a(x – {h^2}) + k[/math] باشد آنگاه مختصات راس سهمی بصورت [math] \left( {h,k} \right)[/math] خواهد بود و محور تقارن نیز خط x=h می باشد. پس با توجه به این مطلب مختصات راس سهمی و خط تقارن سهمی بصورت زیر خواهند بود:
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = – 2{(x + 3)^2} + 4\\y = a(x – {h^2}) + k\\\left( {h,k} \right)\\x = h\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} \left( {h,k} \right) \to \left( { – 3,4} \right)\\x = h \to x = – 3\end{array} \right\}\\[/math]
2-1-راس سهمی وخط تقارن سهمی روبرو را بدست آورید.
[math] y = {x^2} + 2x[/math]
ما گفتیم که اگر معادله ما به فرم [math] y = a(x – {h^2}) + k[/math] باشد آنگاه مختصات راس سهمی بصورت [math] \left( {h,k} \right)[/math] خواهد بود و محور تقارن نیز خط x=h می باشد. با کمی دقت می بینیم که براحتی می توانیم این معادله را به فرم [math] y = a(x – {h^2}) + k[/math]بنویسیم پس:
[math]y = {x^2} + 2x \to y = {(x + 1)^2} – 1\\\\\left\{ \begin{array}{l}y = y = {(x + 1)^2} – 1\\y = a(x – {h^2}) + k\\ \left( {h,k} \right)\\x = h\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\left( {h,k} \right) \to \left( { – 1, – 1} \right)\\x = h \to x = – 1\end{array} \right\}\\[/math]
3-آیا معادله زیر یک معادله سهمی است ؟
[math] y = (x – 3)(x + 3)[/math]
در بالا ما یک اتحاد مزدوج داریم ابتدا ضرب می کنیم :
[math] y = (x – 3)(x + 3) \to {x^2} – 9[/math]
با توجه به اینکه معادله درجه دو است پس سهمی می باشد.
4-مختصات نقطه ماکزیمم یا می نیمم [math] y = – {x^2} + 6x – 4[/math] را بدست آورید.
می دانیم که در معادله درجه دوم[math] y = a{x^2} + bx + c [/math]
باید مقدار a را در نظر بگیریم . اگر a مثبت بود دهانه سهمی رو به بالا بود یعنی سهمی می نیمم دارد اما اگر a منفی بود دهانه سهمی رو با پایین بود یعنی سهمی ماکزیمم دارد ، پس با توجه به این مطالب ، در این مثال چون a=-1 است پس اینجا ما نقطه ماکزیمم داریم ، این نقطه ماکزیمم هم راس سهمی است پس کافیست مختصات راس سهمی را بدست آوریم .
[math]y = – {x^2} + 6x – 4\\\left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{6}{{ – 2}},\frac{{4( – 1)( – 4) – {6^2}}}{{ – 4}}} \right)\\[/math]
پس مختصات راس سهمی نقطه [math] \left( {3,5} \right)[/math] می باشد.
5-سهمی [math] y = {x^2} + ax + 4[/math] نقطه مینیمم این سهمی روی محور y ها برابر 3 است. مقدار a را بدست آورید.
می دانیم که عرض نقطه راس سهمی بصورت زیر است:
[math]\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} \to \frac{{4 \times 1 \times 4 – {a^2}}}{4} = \frac{{16 – {a^2}}}{4}[/math]
عبارت بدست آمده را برابر 3 قرار می دهیم:
[math]\frac{{16 – {a^2}}}{4} = 3 \to 16 – {a^2} = 12 \to {a^2} = 4 \to a = \pm 2[/math]
6-نمودار سهمی مقابل را رسم کنید.
[math]y = 3{x^2} + 5[/math]
جواب :
می دانیم که فرم معادله درجه دو [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]
[math] a = 3,b = 0,c = 5[/math] | [math] y = 3{x^2} + 5[/math] |
1-با توجه به اینکه مقدار a مثبت است پس دهانه سهمی باید رو به بالا باشد.
2-بدست آوردن راس سهمی:
[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{0}{6},\frac{{4(3)(5) – 0}}{{4(3)}}} \right) \to \left( {0,5} \right)\\[/math]
پس نقطه (0,5) راس سهمی است.
3-بدست آوردن تقاطع سهمی با محورها
الف) با محور y ها :
[math] \left( {0,c} \right) \to \left( {0,5} \right)[/math]
ب) با محور x ها :
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = 0 – 4(3)(5) = – 15[/math]
می دانیم که اگر دلتا منفی باشد آنگاه سهمی محور x ها را قطع نمی کند. اما ما اینجا برای رسم سهمی نیاز به نقاط دیگری داریم چرا که تا اینجا فقط یک نقطه بدست امد ، برای این کار از روش نقطه یابی استفاده می کنیم :
-2 | 2 | -1 | 1 | 0 | x |
17 | 17 | 8 | 8 | 5 | y |
با توجه به اینکه راس سهمی نقطه (0,5) می باشد و همچنین راس سهمی رو به بالا است ، و با توجه به نقاط بدست آمده در جدول بالا سهمی بصورت زیر است.
7-نمودار سهمی مقابل را رسم کنید.
[math] y = – 6{x^2} + 12x + 1[/math]
جواب :
می دانیم که فرم معادله درجه دو [math] y = a{x^2} + bx + c[/math]
[math]a=-6,b=12,c=1[/math] | [math] y = – 6{x^2} + 12x + 1[/math] |
1-با توجه به اینکه مقدار a منفی است پس دهانه سهمی باید رو به پایین باشد.
2-بدست آوردن راس سهمی:
[math]\left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right) \to \left( { – \frac{{12}}{{ – 12}},\frac{{4( – 6)(1) – 144}}{{4( – 6)}}} \right) \to \left( {1,7} \right)[/math]
3-بدست آوردن تقاطع سهمی با محورها
الف) با محور y ها :
[math] \left( {0,c} \right) \to \left( {0,1} \right)[/math]
ب) با محور x ها :
[math]\Delta = {b^2} – 4ac = 144 – 4( – 6)(1) = 168\\{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 12 + \sqrt {168} }}{{ – 12}} = – 0.8\\{x_2} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 12 – \sqrt {168} }}{{ – 12}} = 2.08[/math]
داده های بالا بصورت تقریبی حساب شده اند
8-نمودار سهمی [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] محور y ها را در نقطه 3 و محور x ها را در نقاط 1 و 3 قطع کرده است . معادله سهمی و معادله محور تقارن ان را بنویسید.
می دانیم که محل تقاطع سهمی با محور y ها نقطه (0,c) است پس
[math]\left\{ \begin{array}{l}y = a{x^2} + bx + c\\\left( {0,c} \right) \to (0,3)\end{array} \right\} \to y = a{x^2} + bx + 3[/math]
اکنون مختصات دو نقطه (1,0) و نقطه (3,0) را در معادله قرار می دهیم
[math]\left( {1,0} \right) \to y = a{x^2} + bx + 3 \to a + b + 3 = 0\\\left( {3,0} \right) \to y = a{x^2} + bx + 3 \to 9a + 3b + 3 = 0[/math]
اکنون دستگاه زیر را حل می کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 3\\9a + 3b = – 3\end{array} \right\} \to a = 1,b = – 4\\y = {x^2} – 4x + 3\\[/math]
پس محور تقارن بصورت زیر است :
[math]x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{ – 4}}{2} = 2[/math]
9-اگر سهمی [math] y = a{x^2} + bx[/math]از نقاط [math] \left( { – 1,2} \right),\left( {1,0} \right)[/math]
بگذرد حاصل [math]a+2b[/math] را بدست آورید.
[math]\left( { – 1,2} \right) \to y = a{x^2} + bx \to 2 = a – b\\\left( {1,0} \right) \to y = a{x^2} + bx \to 0 = a + b\\\\\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a – b = 2\end{array} \right\} \to 2a = 2 \to a = 1 \to b = – 1\\\\a + 2b = 1 – 2 = – 1\\[/math]