قضایای حد 2-حد رادیکال و تابع نمایی و لگاریتمی و حد تابع مرکب
قضیه 7 : حد تابع زیر رادیکال و تابع توان دار، هر گاه تابع ما
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to c} \sqrt[n]{{f(x)}} = \sqrt[n]{c}[/math]
[math]{\lim\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^p} }={ {\left[ {\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^p}}[/math]
به شرط أنكه c بزرگتر یا مساوی صفر باشد انگاه n هر عدد طبیعی است. اما اگر c کوچکتر از صفر باشد n باید یک عدد فرد باشد
نکته :در توابع رادیکالی با فرجه زوج اگر [math] x \to c,x = c[/math] ریشه ساده عبارت زیر رادیکال باشند ، آنگاه باید حد چپ و حد راست را محاسبه کنیم .
مثال :حد عبارت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} – 2x + 1} [/math] را حساب کنید :
جواب :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{x^2} – 2x + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \sqrt {{{(x – 1)}^2}} = \sqrt {1 – 1} = \sqrt 0 = 0[/math]
اکنون حد چپ و حد راست را محاسبه می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{x^2} – 2x + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {{{(x – 1)}^2}} = \sqrt {1 – 1} = \sqrt {{0^ +}} = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \sqrt {{x^2} – 2x + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \sqrt {{{(x – 1)}^2}} = \sqrt {1 – 1} = \sqrt {{0^ – }} \\[/math]
مقدار بدست آمده برای حد چپ غیر قابل قبول است ، لذا تابع ما حد چپ ندارد ،پس چون حد چپ و حد راست برابر نیستند این عبارت زیر رادیکال در عدد 1 دارای حد نمی باشد .
قضیه 8: حد تابع نمایی با پایه مثبت [math]a>0[/math]
[math]\lim\limits_{x \to a} {a^{f\left( x \right)}} = {a^{\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}[/math]
قضیه 9:حد تابع لگاریتمی با پایه مثبت [math]a>0[/math]
[math]{\lim\limits_{x \to a} \left[ {{{\log }_a}f\left( x \right)} \right] }={ {\log _a}\left[ {\lim\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]}[/math]
قضیه 10: حد تابع مرکب : اگر [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = b [/math] و تابع [math]f[/math] در [math]b[/math] پیوسته باشد آنگاه :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(g(x)) = f(b)[/math]
به عبارتی دیگر داریم که :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(g(x)) = f(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x)) = f(b)[/math]
مثال 1: حد تابع مرکب زیر را بدست آورید .
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \cos (\frac{1}{x})[/math]
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l}g(x) = \frac{1}{x} \\ f(x) = \cos x \\ \end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \cos (\frac{1}{x}) = \cos (\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (\frac{1}{x})) = \cos (0) = 1[/math]
مثال 2: حد تابع مرکب زیر را وقتی x به سمت صفر میل می کند ، بدست آورید .
[math]f(g(x)) = \sin ({x^2}) \\ \left\{ \begin{array}{l} f(x) = \sin (x) \\ g(x) = {x^2} \\ \end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin ({x^2}) = \sin(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2}) = \sin 0 = 0 \\[/math]
تمرین 1:حد عبارت [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{|{x^2} – x – 2|}}{{2x – \sqrt {{x^2} + 12} }} [/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری ریاضی-1390)
[math] 1) – 3\\2) – 2\\3)2\\4)3\\ [/math]
پاسخ :
[math] x \to {2^ – } [/math] یعنی [math]x<2[/math] است ،پس ابتدا باید عبارت داخل قدر مطلق را تعیین علامت کنیم
[math] \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – x – 2 = (x – 2)(x + 1)\\x \to {2^ – } \Rightarrow x < 2 \Rightarrow x – 2 < 0\end{array} \right\} \to |{x^2} – x – 2| = – (x – 2)(x + 1) [/math]
پس با توجه به محاسبات بالا حد عبارت ما بصورت زیر خواهد بود:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{|{x^2} – x – 2|}}{{2x – \sqrt {{x^2} + 12} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} = \frac{{ – {x^2} + x + 2}}{{2x – \sqrt {{x^2} + 12} }} = \frac{{ – 4 + 4}}{{4 – \sqrt {4 + 12} }} = \frac{0}{0} [/math]
عبارت بالا را باید رفع ابهام کنیم برای اینکار در مزدوج مخرج ضرب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{( – {x^2} + x + 2)}}{{2x – \sqrt {{x^2} + 12} }} \times \frac{{2x + \sqrt {{x^2} + 12} }}{{2x + \sqrt {{x^2} + 12} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{( – {x^2} + x + 2)(2x + \sqrt {{x^2} + 12} )}}{{4{x^2} – {x^2} – 12}}\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{ – (x – 2)(x + 1)(2x + \sqrt {{x^2} + 12} )}}{{3(x – 2)(x + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} = \frac{{ – (x + 1)(2x + \sqrt {{x^2} + 12} )}}{{3(x + 2)}}\\\\\frac{{ – (2 + 1)(4 + 4)}}{{3(2 + 2)}} = \frac{{ – 3 \times 8}}{{2 \times 4}} = – 2\\ [/math]
تمرین 2:در تابع با ضابطه
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {1 – x} }&{x > 0}\\{ – \sqrt {1 + x} }&{x \le 0}\end{array}} \right\}\\ [/math]
حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f({x^3} – x) [/math] کدام است ؟(کنکور سراسری ریاضی -1389)
1)[math]-1[/math]
2)[math]1[/math]
3)صفر
4)موجود نیست
پاسخ:
در اینجا ابتدا باید مشخص کنیم وقتی که [math] x \to {0^ – } [/math] عبارت [math] {x^3} – x [/math] به سمت چه مقدار میل می کند ؟برای اینکار می توان از تغییر متغیر استفاده کرد یعنی می نویسیم [math] {x^3} – x = t [/math] با تعیین محدوده t حاصل حد را با استفاده از ضابطه های داده شده حساب می کنیم :
[math] \left\{ \begin{array}{l}x \to {0^ – } \to – 1 < x < 0 \Rightarrow {x^3} > x \Rightarrow {x^3} – x > 0\\{x^3} – x = t\end{array} \right\} \to t > 0 \Rightarrow t \to {0^ + } [/math]
بنابر این برای بدست آوردن حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f({x^3} – x) [/math] با استفاده از تغییر متغیر داریم
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f({x^3} – x)\\{x^3} – x = t\end{array} \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(t) [/math]
با استفاده از ضابطه تابع باید از ضابطه به ازای x های متبت استفاده کنیم:
[math] t \to {0^ + } \Rightarrow t > 0 \Rightarrow f(t) = \sqrt {1 – t} \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(t) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt {1 – t} = \sqrt {1 – 0} = 1 [/math]
تمرین 3:نمودار تابع f در شکل زیر رسم شده است حاصل [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ – }} (fofof)(x) [/math] را بیابید.
وقتی x از سمت چپ به منفی 2 نزدیک می شود f(x) طبق نمودار بالا از سمت چپ به عدد صفر نزدیک می شود بنابر این :
[math] \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ – }} (fofof)(x)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 2)}^ – }} f(x) = 0\end{array} \right\} \to = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ – }} f(f(t)) [/math]
وقتی t از سمت چپ به صفر نزدیک می شود[math]f(t)[/math] از سمت چپ به 2 نزدیک می شود . پس:
[math] \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ – }} f(f(t)) = \mathop {\lim }\limits_{s \to {2^ – }} f(s) = 1 [/math]
در نهایت جمع بندی قضایای ابتدایی مبحث حد
سلام
در قضیه ی 8
2 اشکال ریاضی وجود داره که کل توضیحات رو خراب کرده و میتونه مراجعه کنندگان این صفحه رو گمراه کنه……
برای اصلاح حتما با ایمیل من تماس بگیرید
با سلام
متوجه منظور شما نشدیم اما ما از هر گونه پیشنهاد استقبال می کنیم
ایمیلهای ما در سایت هست که باز هم اینجا تکرار می کنیم
[email protected]
می توانید نقطه نظرات خود را برای ما بفرستید
با تشکر فراوان