مجانب افقی
مجانب افقی
یکی از کاربردهای حد در بی نهایت ، بدست آوردن مجانب افقی است .این مجانب از حد گیری در بی نهایت بدست می آید .
تعریف :اگر در تابع به معادله [math]y=f(x)[/math] متغیر x به سمت بی نهایت برود [math] x \to + \infty [/math] یا [math] x \to – \infty [/math] و یا [math] x \to \pm \infty [/math] آنگاه حد تابع برابر عددی مانند [math]b[/math] شود.آنگاه خط [math]y=b[/math] را مجانب افقی نمودار منحنی تابع می گوییم .
به عنوان مثال در هر یک از شکل های زیر خط [math]y=1[/math] مجانب افقی نمودارها است .چون زمانی که مقدار x به بی نهایت میل می کند ،مقدار تابع برابر یک می شود.
پس با تاکیدی دوباره ،و با توجه به شکل بالا ، هر گاه بخواهیم مجانب افقی را محاسبه کنیم ، باید حد تابع را در بینهایت حساب کنیم .اما ذکر این نکته بسیار مهم است
اکنون برای فهم بیشتر چند مثالی را با هم مرور می کنیم .
مثال 1:مجانب افقی تابع روبرو را بدست آورید.
[math] f(x) = \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 1}} [/math]
ابتدا حد تابع را در بی نهایت بدست می آوریم :
(دقت کنید که در اینجا برای محاسبه حد بزرگترین درجه مخرج و بزرگتر درجه صورت را در نظر می گیریم)
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty } = 0 [/math]
یعنی خط [math]y=0[/math] مجانب افقی تابع ماست . نمودار تابع و مجانب آن در شکل زیر داده شده است :
در نمودار فوق مجانب افقی با خط قرمز رنگ نشان داده شده است .
اکنون اگر به شکل منحنی دقت کنیم می بینیم که y=0 مجانب افقی است اما با منحنی در نقطه x=2 تقاطع دارد .سوال این است آیا چنین خطی می تواند مجانب افقی تابع ما باشد.
در جواب باید گفت بله این خط مجانب افقی است یعنی مجانب افقی می تواند با منحنی تقاطع داشته باشد ، مگر در حالتی که مجانب و منحنی منطبق باشند یعنی بی شمار نقطه تقاطع داشته باشند که در این حالت پذیرفته نیست .پس
مجانب افقی می تواند با منحنی تقاطع داشته باشد ، اما نباید بر آن منطبق باشد.
مثالی دیگر :در نمودار داده شده زیر اگر چه خط [math]y=2[/math] نمودار را قطع کرده است اما چون بر منحنی منطبق نیست پس مجانب افقط نمودار است.
مثال 2:مجانب افقی تابع روبرو را بدست آورید.
[math] f(x) = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2}} [/math]
حد تابع را در مثبت و منفی بی نهایت جداگانه حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{\sqrt {{x^2}(1 + \frac{1}{x})} }}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x}} }}{{x(1 – \frac{2}{x})}} [/math]
چون قدر مطلق دارد پس مثبت بی نهایت و منفی بی نهایت جداگانه حساب می کنیم:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x}} }}{{x(1 – \frac{2}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{|x|}}{x} = \frac{x}{x} = + 1\\\\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{|x|\sqrt {1 + \frac{1}{x}} }}{{x(1 – \frac{2}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{|x|}}{x} = \frac{{ – x}}{x} = – 1 [/math]
چیزی که از مثال بالا فراگرفتیم اینکه یک تابع می تواند بیش از یک مجانب افقی داشته باشد.مخصوصا در توابعی که نمودار آنها از چند قطعه منفصل تشکیل شده باشد.
مثال 3:مجانب افقی تابع [math] f(x) = \frac{{x + \sin x}}{x} [/math] را بدست آورید.
ابتدا حد تابع را در بی نهایت حساب می کنیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + \sin x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x(1 + \frac{{\sin x}}{x})}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{x} = 1 [/math]
اینجا به نظر می آید که [math]y=1[/math] مجانب افقی تابع است اما اگر نمودار تابع را رسم کنیم :
اما طبق نمودار خط [math]y=1[/math] نمودار تابع را در نقاط متعددی قطع می کند زیرا :
[math] \frac{{x + \sin x}}{x} = 1 \Rightarrow x + \sin x = x \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi [/math]
معادله دارای بی نهایت جواب است و خط [math]y=1[/math] در بی نهایت نقطه ، نمودار تابع را قطع می کند پس خط [math]y=1[/math] نمی تواند مجانب افقی این تابع باشد .
مثال 4: مجانب افقی تابع [math] \frac{{x + \sin x}}{{x + 2}} [/math] را بدست آورید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x + \sin x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x(1 + \frac{{\sin x}}{x})}}{{x(1 + \frac{2}{x})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{x}{x} = 1 [/math]
خط [math]y=1[/math] مجانب افقی نمودار است .به شرط آنکه نمودار را در بی نهایت نقطه قطع نکند پس معادله زیر را حل می کنیم :
[math] \frac{{x + \sin x}}{{x + 2}} = 1 \Rightarrow x + \sin x = x + 2 \Rightarrow \sin x = 2 [/math]
سینوس هیچ زاویه برابر 2 نمی شود پس جواب [math]sinx=2[/math] غیر ممکن است یعنی خط [math]y=1[/math] نمودار ما را قطع نمی کند پس می تواند مجانب افقی نمودار باشد.
نکته : دقت کنید که هر دو مثال بالا را بهتره برای همه توابع انجام دهیم زیرا این حالت معمولا در مورد توابع متناوب اتفاق می افتد اما برای توابع رادیکالی ،کسری،گویا و .. نیاز نیست فقط برای توابع متناوب لازم است.مجانب افقی نباید نمودار را در بی نهایت نقطه قطع کند.
مثال 5: مجانب افقی تابع [math] f(x) = \frac{{x – [x]}}{x} [/math] را بدست آورید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{x – [x]}}{x} = \frac{{0 < x – [x] < 1}}{\infty } = 0 [/math]
در نگاه اول می گوییم [math]y=0[/math] مجانب افقی تابع است اما چون [math]x-[x][/math] یک تابع متناوب است پس باید شرط تقاطع را بررسی کنیم :
[math] \frac{{x – [x]}}{x} = 0 \Rightarrow x – [x] = 0 \Rightarrow x = [x] \Rightarrow x \in Z [/math]
یعنی خط [math]y=0[/math] معادله تابع را در بی شمار نقطه قطع می کند لذا خط [math]y=0[/math] مجانب افقی نمی باشد.