نامعادلات جزء صحیح و خصوصیات آن
نامعادلات جزء صحیح و خصوصیات آن
حل نامعادلات جزء صحیح مانند حل معادلات جزء صحیح است فقط باید با کمی دقت حالتهای مختلف آن را دسته بندی و حل می کنیم.در واقع بیشتر آنها را می توان به حالت [math] \left[ x \right] \le n [/math] که معادل [math] \left( {x < n + 1} \right) [/math] یا [math] \left[ x \right] \ge n [/math] که معادل [math] x \ge n [/math] است رساند.
من ابتدا خصوصیات نامعادلات جزء صحیح را بیان می کنم :
[math]n \in Z\\1)\left[ x \right] > n \Rightarrow x \ge n + 1\\2)\left[ x \right] \ge n \Rightarrow x \ge n\\3)\left[ x \right] < n \Rightarrow x < n\\4)\left[ x \right] \le n \Rightarrow x < n + 1[/math]
مثال 1:
[math]\left[ x \right] \ge 4 \Rightarrow x \ge 4\\\left[ x \right] > 4 \Rightarrow \left[ x \right] \ge 5 \to x \ge 5\\\left[ x \right] \le 4 \Rightarrow x < 4\\\left[ x \right] < 4 \Rightarrow \left[ x \right] \le 3 \Rightarrow x < 4[/math]
[math]x \in R \\5)\left[ x \right] > n \Rightarrow \left[ x \right] \ge \left[ n \right] + 1[/math]
مثال 2:
[math]\left[ x \right] > 7.5 \Rightarrow \left[ x \right] \ge \left[ {7.5} \right] + 1 \Rightarrow \left[ x \right] \ge 7 + 1 \Rightarrow x \ge 8 [/math]
[math]6)\left[ x \right] < n \Rightarrow \left[ x \right] \le \left[ n \right] \to x < \left[ n \right] + 1[/math]
مثال3:
[math]\left[ x \right] < 3.7 \Rightarrow \left[ x \right] \le \left[ {3.7} \right] \to x < \left[ {3.7} \right] + 1 \to x < 4[/math]
نامعادلات جزء صحیح
اکنون با استفاده از خصوصیات ذکر شده در بالا می خواهیم نامعادلات جزء صحیح را حل کنیم
تمرین 1: نامعادلات جزء صحیح زیر را حل کنید.
الف)[math] \left[ x \right] \ge – 1 [/math]
ب) [math] \left[ x \right] > 0 [/math]
ج) [math] \left[ x \right] \le 3 [/math]
د) [math] \left[ x \right] < – 3 [/math]
پاسخ :
الف)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت شماره 2 استفاده می کنیم
[math] \left[ x \right] \ge – 1 \Rightarrow x \ge – 1 [/math]
ب)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت شماره 1 استفاده می کنیم
[math] \left[ x \right] > 0 \Rightarrow \left[ x \right] \ge 1 \Rightarrow x \ge 1 [/math]
ج)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت شماره 4 استفاده می کنیم
[math] \left[ x \right] \le 3 \Rightarrow x < 4 [/math]
د)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت شماره 3 استفاده می کنیم
[math] \left[ x \right] < – 3 \Rightarrow x < – 3 [/math]
تمرین 2:نامعادلات زیر را حل کنید.
الف)[math] \left[ {\frac{{2x – 1}}{3}} \right] > 2 [/math]
ب)[math] \left[ {\frac{{1 – x}}{3}} \right] \le – 2 [/math]
پاسخ :
الف)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت 1 استفاده می کنیم:
[math]\left[ {\frac{{2x – 1}}{3}} \right] > 2 \Rightarrow \frac{{2x – 1}}{3} \ge 3 \Rightarrow 2x – 1 \ge 9\\\\2x \ge 10 \Rightarrow x \ge 5[/math]
ب)برای پاسخ به این نامعادله از خاصیت 4 استفاده می کنیم:
[math]\left[ {\frac{{1 – x}}{3}} \right] \le – 2 \Rightarrow \frac{{1 – x}}{3} < – 2 + 1 \Rightarrow \frac{{1 – x}}{3} < – 1 \Rightarrow 1 – x < – 3\\\\ – x < – 4 \Rightarrow x > 4[/math]
تمرین 3:مجموعه جواب نامعادله
[math] \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] + \left[ {2x} \right] < 1 [/math]
را بدست آورید .
پاسخ:
می دانیم که مجموع [math] \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] [/math] برابر صفر یا منفی یک است .پس مساله را به دو حالت تقسیم می کنیم :
حالت اول اگر [math] x \in Z [/math] داریم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}x \in Z \Rightarrow \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] = 0\\\left[ x \right] + \left[ { – x} \right] + \left[ {2x} \right] < 1\end{array} \right\} \to 0 + \left[ {2x} \right] < 1 \to \left[ {2x} \right] < 1[/math]
اکنون طبق خاصیت شماره 3 عمل می کنیم
[math] \left[ {2x} \right] < 1 \Rightarrow 2x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{2} [/math]
حالت دوم اگر [math] x \notin Z [/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l}x \notin Z \Rightarrow \left[ x \right] + \left[ { – x} \right] = – 1\\\left[ x \right] + \left[ { – x} \right] + \left[ {2x} \right] < 1\end{array} \right\} \to – 1 + \left[ {2x} \right] < 1 \to \left[ {2x} \right] < 2\\[/math]
اکنون طبق خاصیت شماره 3 عمل می کنیم
[math] \left[ {2x} \right] < 2 \Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1 [/math]
پاسخ این نامعادله اجتماع دو جواب فوق است که با توجه به اینکه معادله جزء صحیح است پس مجموعه جواب نهایی ما [math]x<1[/math] خواهد بود.