کاربرد مشتق 7-نقاط بحرانی تابع
انواع نقاط مهمی که با استفاده از مشتق برای یک تابع بدست می آید؟
1-نقاط اکسترمم نسبی
2-نقاط اکسترمم مطلق
3-نقطه عطف
4-نقطه بحرانی
نقطه بحرانی :
نقطه ای است که
1-باید در دامنه تابع باشد .
2-مشتق تابع در آن نقطه یا برابر صفر است یا موجود نمی باشد .
3-تابع در آن نقطه تعریف شده باشد .
به زبان ریاضی می گوییم :
اگر(f(x تابع ما باشد که در بازه (a,b) تعریف شده باشد و نقطه c از این بازه را داشته باشیم . نقطه c را نقطه بحرانی تابع f گوییم هرگاه :
1-تابع f در نقطه C تعریف شده باشد.
2- مشتق تابع در این نقطه یعنی[math] f'(c) = 0 [/math] یا اصلا موجود نباشد.
(یعنی ما ابتدا باید از تابع مشتق بگیریم و سپس در صورت کسری بودن تابع مخرج مشترک و غیره انجام می دهیم و سپس ریشه های صورت و مخرج را بدست می آوریم )
نکته :نقاطی که مشتق چپ و راست تابع برابر نباشند در این نقاط مشتق موجود نیست . لینک زیر نقاط مشتق ناپذیر تابع را توضیح داده ایم :
توابع ناپیوسته –نقطه زاویه دار-نقطه بازگشت-مماس قائم
در شکل های زیر نقاط بحرانی مشخص شده اند.
دقت کنید که در نمودار برای اینکه تابع مشتق پذیر باشد باید نیم مماس چپ و نیم مماس راست تابع در یک امتداد باشند. و اگر موازی محور xها باشند یعنی مشتق برابر صفر است چون شیب خط برابر صفر می شود.نیم مماس راست نشان دهنده مشتق راست و نیم مماس چپ نشان دهنده مماس چپ است. در دو شکل زیر چون هر دو نیم مماس موازی محور x ها هستند یعنی شیب برابر صفر است و هر دو هم مساوی هستند پس مشتق تابع در نقطه داده شده برابر صفر است و این نقطه بحرانی است.
در شکل های بالا همانطور که می بینید نیم مماس چپ و راست تابع در نقطه C در یک امتداد هستند لذا برابر هستند و در نتیجه مشتق تابع در این نقطه برابر صفر است .
نکته2 : شاید برای شما سوال مطرح شود که در چه نقاطی مشتق تابع موجود نیست ، جواب ساده است شما اگر تابع کسری داشته باشید ریشه های مخرج ممکن است نقاط بحرانی باشنداما تابع در این نقاط موجود نباشد. و یا ممکن است تابع شما مثلثاتی و یا قدر مطلقی باشد ، بطور کلی نمی توان فرمول کلی بدست آورد.
اگر بخواهم به روشی ساده تر بیان کنم :
نقطه بحرانی یعنی نقطه ای از دامنه تابع است که یا مشتق در آن برابر صفر است یا اصلا وجود ندارد .خوب مشتق وجود ندارد شاید یه کم پیچیده باشد .اینجا کافیه شما
1-ابتدا از تابع مشتق می گیریم و ریشه های مشتق را بدست می آوریم ،در صورتیکه ریشه های مشتق در دامنه تابع باشند نقاط بحرانی خواهند بود.
2-اگر مشتق تابع کسری بود علاوه بر ریشه های صورت ریشه های مخرج را نیز بدست می آوریم زیرا ریشه های صورت مشتق را صفر می کند و ریشه های مخرج مشتق را تعریف نمی کند .البته دقت کنید که این نقطه باید در دامنه تابع باشد .یعنی اگر ریشه مخرج مشتق در دامنه تابع نباشد آنگاه نقطه بحرانی نخواهد بود .
3-نقاط ابتدا و انتهای بازه چه بازه باز ، و چه بازه بسته باشه ،نقطه بحرانی هستند (البته در برخی کتابهای درسی این نقاط را جزو نقاط بحرانی حساب نکرده اند) .
مثال 1: تابع [math] f(x) = \frac{{{x^3}}}{{{{(1 – x)}^2}}} [/math] چند نقطه بحرانی دارد؟
دامنه این تابع برابر :[math] {D_f} = R – \{ 1\} [/math]
ابتدا مشتق را حساب می کنیم:
[math] f'(x) = \frac{{3{x^2}{{(1 – x)}^2} + 2(1 – x){x^3}}}{{{{(1 – x)}^4}}}\\ = \frac{{(1 – x)(3{x^2} – 3{x^3} + 2{x^3})}}{{{{(1 – x)}^4}}} = \frac{{ – {x^3} + 3{x^2}}}{{{{(1 – x)}^3}}}\\ = \frac{{{x^2}(3 – x)}}{{{{(1 – x)}^3}}} [/math]
اکنون ریشه های صورت را حساب می کنیم:
[math] {x^2}(3 – x) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 0 \to x = 0\\3 – x = 0 \to x = 3\end{array} \right\} [/math]
بنابر این [math]x=0,x=3[/math] طول دو نقطه بحرانی تابع داده شده هستند . چون تابع کسری است و [math]x=1[/math] ریشه مخرج است اما چون این ریشه در دامنه تابع نیست پس نقطه بحرانی تابع داده شده نیست .
3-در توابع چند ضابطه ای علاوه بر شرطهای 1و 2 بالا ، مشتق پذیری در نقاط تفکیک را هم باید بررسی کنیم چون اگر در نقاط تفکیک ضابطه ها مشتق وجود نداشته باشد جزء نقاط بحرانی است.
مثال2: تابع چند ضابطه ای زیر در باز [math](-2,4)[/math] چند نقطه بحرانی دارد؟
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} – 3x}&{ – 2 < x \le 2}\\{{x^3} – 18x}&{2 < x < 4}\end{array}} \right\} [/math]
این تابع در نقطه [math]x=2[/math] پیوسته نیست در نتیجه در این نقطه مشتق پذیر نیست لذا این نقطه بحرانی تابع است.
[math] f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3{x^2} – 3}&{ – 2 < x \le 2}\\{3{x^2} – 18}&{2 < x < 4}\end{array}} \right\}\\f'(x) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}3{x^2} – 3 = 0 \to 3{x^2} = 3 \to x = \pm 1\\3{x^2} – 18 = 0 \to 3{x^2} = 18 \to x = \pm \sqrt 6\end{array} \right\}\\ [/math]
دقت کنید که ریشه های بدست آمده باید در بازه تعریف شده هر ضابطه باشد مثلا [math] x = \pm 1 [/math] در بازه ضابطه [math] – 2 < x \le 2 [/math] است اما برای ریشه [math] x = \pm \sqrt 6 [/math] با توجه به ضابطه [math] 2 < x < 4 [/math] فقط مقدار مثبت آن قابل قبول است پس نقاط بحرانی ما چهارتا خواهد بود :
[math] \{ – 1,1,2,\sqrt 6 \} [/math]
مثال 3: نقاط بحرانی تابع زیر را آورید
[math]f(x)= sin x + cos x[/math]
مثال 4: در تابع زیر نقاط بحرانی را بدست آورید
بسیار عالی بود ، متشکرم