مشتق توابع 5- مشتق حاصلضرب دو تابع و تقسیم دو تابع
مشتق حاصلضرب دو تابع و تقسیم دو تابع
1-مشتق حاصلضرب دو تابع :
هر گاه دو تابعی داشته باشیم بصورت[math]f(x),g(x)[/math] مشتق حاصلضرب این دو تابع بصورت زیر بدست می آید .
[math] (f(x).g(x))’ = f(x)’.g(x) + f(x).g(x)’ [/math]
نحوه بدست آوردن این مشتق به صورت زیر است:
که در واقع برابر است با مشتق تابع اول ضربدر تابع دوم به اضافه مشتق تابع دوم ضربدر تابع اول
مثال 1:
مثال 2:
[math] f(x) = (3x – 2{x^2})(5 + 4x) [/math]
2-مشتق تقسیم دو تابع :
هر گاه دو تابعی داشته باشیم بصورت [math]f(x),g(x)[/math] که مشتق پذیر باشند. آنگاه مشتق تقسیم آنها بصورت زیر محاسبه می شود.
[math] {\left[ {\frac{{f(x)}}{{g(x)}}} \right]^\prime } = \frac{{g(x)f’(x) – f(x)g’(x)}}{{{{[g(x)]}^2}}} [/math]
نحوه محاسبه این فرمول به شکل زیر است :
در اینجا چون [math] \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} g(x + \Delta x) = g(x) [/math] زیرا تابع g داده شده تابعی مشتق پذیر و پیوسته است.
مثال 3:مشتق [math] f(x) = \frac{{5x – 2}}{{{x^2} + 1}} [/math] را محاسبه کنید.
[math] {\left[ {\frac{{5x – 2}}{{{x^2} + 1}}} \right]^\prime } = \frac{{({x^2} + 1)(5x – 2)’ – (5x – 2)({x^2} + 1)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\\\\ = \frac{{({x^2} + 1)(5) – (5x – 2)(2x)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\\ = \frac{{(5{x^2} + 5) – (10{x^2} – 4x)}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}\\ = \frac{{ – 5{x^2} + 4x + 5}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}} [/math]
مثال 4: مشتق [math] f(x) = \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}} [/math] را حساب کنید.
[math] {\left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}(\sqrt x + 1) – (\sqrt x – 1)\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}}\\\\ = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}(\sqrt x + 1 – \sqrt x + 1)}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{{2\sqrt x }}.2}}{{{{(\sqrt x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{\sqrt x {{(\sqrt x + 1)}^2}}} [/math]
درخواست اشتراک و ارسال ایمیل