حد توابع بخش 5-قضیهٔ فشردگی یا ساندویچ در حد

در حسابان، قضیهٔ فشردگی یا ساندویچ قضیه‌ای مهم راجع به حد یک تابع است. معمولاً از این قضیه برای تأیید حد یک تابع از طریق مقایسهٔ آن با دو تابع دیگر که حدودشان معلوم و یا به سادگی قابل محاسبه است، استفاده می‌شود

فرض کنید که به ازای تمام x هايي كه در بازه [a,b]  هستند تساوی زیر را داشته باشیم :

یعنی اینکه به ازای هر x  كه در بازه [a,b]   باشد نتیجه مقدار تابع باید در تساوی بالا صدق کند .به شکل زیر نگاه کنید :

در شکل بالا نمودار سه تابع ما رسم شده است . این سه تابع ممکن است در یک نقطه باهم تقاطع داشته باشند ، اکنون ما یک نقطه مانند n   برروی محور x ها  درنظر می گیرم خوب همانطور که می بینید نتیجه مقدار هر کدام از توابع بر روی محور y ها برابر سه نقطه n1,n2,n3  شده است که در تساوی زیر صدق می کنند

n3<=n2<=n1

حالا اگر دقت کنیم می بینیم با توجه به نمودار بالا ، این توابع در همسایگی یه نقطه ای مانند  c دارای مقادیر مساوی خواهند شد یعنی :

در نتیجه خواهیم داشت :

قضیه فشردگی : اگر فرض کنیم تساوی زیر در مورد سه تابع در یک بازه مشخص صدق کند :

اکنون با حل چند مثال مفهوم قضیه بالا را در عمل نشان می دهیم :

مثال 1: حد تابع زیر را با استفاده از قضیه فشردگی محاسبه کنید .

ما می دانیم که تساوی زیر در مورد کسینوس همیشه صادق است .

علاوه براین به شکل این تابع روی نمودار دقت کنید همانطور که می بینید

مثال 2: حد تابع زیر را با استفاده از قضیه فشردگی حساب کنید .