مثلثات بخش 1 – مفاهیم پایه-نسبتهای مثلثاتی

نسبتهای مثلثاتی sin,cos,tan,cot

در بخش قبل و مقدمه بحث در مورد اهمیت مثلث و مثلث قائم الزاویه صحبت کردیم و در نهایت به قانون تانژانت در مثلث قائم الزاویه رسیدیم ، در این مقاله سعی می کنم این مفاهیم و نسبتهای مثلثاتی را با تفصیل بیشتری مورد بحث قرار دهیم .

یک مثلث قائم الزاویه را در نظر بگیرید

در مثلث قائم الزاویه بالا زاویه حاده [math] \alpha [/math] مفروض است ، حالا طبق شکل می بینید که ضلع مجاور این زاویه و ضلع مقابل این زاویه کدام است .خوب بر اساس این مثلث قائم الزاویه ما می توانیم نسبتهای مثلثاتی را در مثلث قائم الزاویه بدست اوریم :

با این حساب می توانیم بگوییم که در یک مثلث قائم الزاویه ،نسبت های سینوس ،کسینوس،تانژانت و کتانژانت را نسبت های مثلثاتی می نامیم .

مثال : در مثلث زیر هر یک از نسبت های مثلثاتی زاویه A را بدست آورید .

حالا تانژانت و کتانژانت زاویه A براحتی محاسبه می شوند چون ضلع روبرو و مجاور این زاویه معلوم است پس داریم

[math]\tan A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{5}{3} \\\\\cot A = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{5}[/math]

اما برای محاسبه سینوس و کسینوس در این مثلث اولین کاری که باید انجام دهیم محاسبه طول وتر با استفاده از قاعده فیثاغورث است .

[math] A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} \\A{C^2} = {3^2} + {5^2} \Rightarrow A{C^2} = 34 \Rightarrow AC = \sqrt {34} [/math]

پس حالا که طول وتر را بدست آوردیم سینوس و کسینوس بصورت زیر محاسبه می شوند :

[math]SinA = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{5}{{\sqrt {34} }} \\\\CosA = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{{\sqrt {34} }}[/math]

با توجه به فرمول و مثالی که در بالا گفتیم ، تانژانت و کتانژانت را می توان بر حسب سینوس و کسینوس نیز نوشت یعنی :

[math]\tan A = \frac{{SinA}}{{CosA}} \\\\\cot A = \frac{{CosA}}{{SinA}} \\[/math]

حالا نوبت این است که کم کم بدانیم مقادیر نسبتهای مثلثاتی برای برخی زوایا چه عددی هست ف مثلا اگر زاویه ما 45 درجه باشد ، تانژانت و سینوس و کسینوس آن چه عددی است . برای این کار مثلث زیر را در نظر می گیریم، مثلثی که اندازه اضلاع قائمه آن برابر یک است و اندازه دو زاویه حاده آن برابر 45 درجه است ، خوب وتر آن چه اندازه ای دارد ؟

اگر اندازه هر ضلع قائمه برابر یک باشد با استفاده از قضیه فیثاغرث براحتی می توانیم مقدار وتر را حساب کنیم که برابر رادیکال 2 است ، حالا نوبت به اصل کار می رسه می خواهیم اندازه و مقدار نسبتهای مثلثاتی زاویه 45 درجه را حساب کنیم :

سینوس برابر ضلع مقابل تقسیم بر وتر یعنی :

[math] Sin45 = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}[/math]

کسینوس برابر ضلع مجاور تقسیم بروتر یعنی :

[math] Cos45 = \frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}[/math]

,و سرانجام تانژانت و کتانژانت نیز برابر :

[math] \tan 45 = \frac{1}{1} = 1 \\\cot 45 = \frac{1}{1} = 1 \\[/math]

پس مقادیر زاویه 45 درجه برای نسبتهای مثلثاتی بدست آوردیم :

Cot45	tan45	Cos45	Sin 45	نسبت مثلثاتی 45 درجه
1	1	[math] \frac{{\sqrt 2 }}{2} [/math]	[math] \frac{{\sqrt 2 }}{2} [/math]	مقدار

 

اکنون میخواهیم برمی سراغ زاویای 30 درجه و 60 درجه ، ببینیم اینها چگونه هستند و چه مقادیری دارند .

در مثلث زیر دو زاویه 30 درجه و 60 درجه داریم میخواهیم نسبتهای مثلثاتی این زاویا را محاسبه کنیم .

ما با استفاده از یک مثلث متساوی الاضلاع که طول هر ضلع آن برابر 2 باشد میخواهیم این نسبتها را حساب کنیم ، می دانیم که در مثلث متساوی الاضلاع همه زاویا برابر هستند و برابر 60 درجه هستند ، حالا ما از راس مثلث عمود منصف را رسم می کنیم خوب این عمود منصف نیمساز زاویه هم هست چون در متساوی الاضلاع نیمساز و عمود منصف بر هم منطبق هستند ، پس این خط عمود منصف علاوه بر اینکه ضلع پایینی مثلث را به دو قسمت متساوی که هر کدام برابر یک هست تقسیم می کند و همچنین زاویه را دو به قسمت که هر کدام برابر 30 درجه هست تقسیم می کند ، حالا ما یک مثلث قائم الزاویه خواهیم داشت که یک زاویه آن 60 درجه و یک زاویه دیگر 30 درجه و یک ضلع آن برابر یک و وتر آن برابر 2 است ، پس طول ضلع قائم دیگر با استفاده از قاعده فیثاغورث برابر رادیکال 3 است .

اکنون نوبت می رسه به حساب کردن نسبت های مثلثاتی زاویا :

سینوس برابر ضلع روبرو تقسیم بر وتر ، پس سینوس 60درجه و 30 درجه بصورت زیر است :

[math] Sin60 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\\Sin30 = \frac{1}{2} \\[/math]

کسینوس برابر ضلع مجاور تقسیم بر وتر پس در این مثلث برای زاویای 60 درجه و 30 درجه داریم :

[math]Cos30 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\\Cos60 = \frac{1}{2} \\[/math]

و سرانجام تانژانت برابر ضلع روبرو تقسیم بر ضلع مجاور و یا تقسیم سینوس بر کسینوس پس :

[math]\tan 30 = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\\left\{ \begin{array}{l}Cos30 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\Sin30 = \frac{1}{2} \\\end{array} \right\} \to \tan 30 = \frac{{\sin 30}}{{\cos 30}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\\\\tan 60 = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3 \\\left\{ \begin{array}{l}Cos60 = \frac{1}{2} \\Sin60 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\end{array} \right\} \to \tan 60 = \frac{{\sin 60}}{{\cos 60}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \\[/math]

و سرانجام کتانژانت برابر ضلع مجاور تقسیم بر ضلع روبرو و یا تقسیم کسینوس بر سینوس پس :

[math]\cot 30 = \sqrt 3 \\\left\{ \begin{array}{l}Cos30 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\Sin30 = \frac{1}{2} \\\end{array} \right\} \to \cot 30 = \frac{{\cos 30}}{{\sin 30}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = \sqrt 3 \\\\\cot 60 = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\\left\{ \begin{array}{l}Cos60 = \frac{1}{2} \\Sin60 = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\end{array} \right\} \to \cot 60 = \frac{{\cos 60}}{{\sin 60}} = \frac{{\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/math]

اکنون کل مقادیر 30 درجه 45 درجه و 60 درجه که در این مقاله برای مقادیر مثلثاتی بدست آوردیم را در جدول زیر خلاصه می کنیم :