تستهای کنکوری بخش تابع به همراه پاسخ تشریحی -بخش 1
1-اگر [math] f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}},x \ne 1[/math] ضابطه [math](fof)(x)[/math] برابر کدام است ؟
1)[math]x[/math]
2)[math]-x[/math]
3)[math] \frac{{x – 1}}{{x + 1}}[/math]
4)[math] \frac{{2x}}{{x – 1}}[/math]
جواب :
[math]\[fof(x) = f(f(x)) = f(\frac{{x + 1}}{{x – 1}}) = \frac{{\frac{{x + 1}}{{x – 1}} + 1}}{{\frac{{x + 1}}{{x – 1}} – 1}} = \frac{{\frac{{x + 1 + x – 1}}{{x – 1}}}}{{\frac{{x + 1 – x + 1}}{{x – 1}}}} = \frac{{2x}}{x} = x[/math]
پس گزینه 1 صحیح است .
2-شکل روبرو نمودار تابع [math]y=f(x)[/math] است . دامنه تابع [math] \sqrt {xf(x)} [/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری –رشته ریاضی –سال 92)
1) [math][0,2][/math]
2) [math][-3,2][/math]
3) [math] [ – 4, – 3] \cup [1,2] [/math]
4) [math] [ – 3, 0] \cup [1,2] [/math]
جواب :
ابتدا دقت کنید که چون ما با عبارتی رادیکالی مواجه هستیم پس دامنه تابع زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشند لذا ما اینجا مقادیری را بررسی می کنیم که حتما عبارت [math]xf(x)[/math] را بزرگتر یا مساوی صفر می کند . دقت کنید که چون گفته شده که [math]y=f(x)[/math] پس تغییرات [math]y[/math] همان تغییرات [math]f(x)[/math] خواهد بود .
حالا از روی نمودار تابع بازه ها را از سمت چپ شروع می کنیم ، به نمودار دقت کنید در سمت چپ بازه اول ما [math][-4,-3][/math] است که طبق نمودار اینجا [math]y[/math] مثبت است یعنی [math]f(x)[/math] هم مثبت است و همچنین مقدار [math]x[/math] اینجا منفی هست بنابر این [math]xf(x)[/math] اینجا منفی خواهد شد پس این بازه قابل قبول نیست .حالا میریم سراغ دومین بازه از روی نمودار یعنی [math][-3,0][/math] اینجا هم [math]y[/math] منفی است و [math]x[/math] هم منفی است و چون منفی در منفی ، مثبت می شود پس این بازه قابل قبول است. حالا بازه بعدی [math][1,2][/math] هم اینجا [math]x,y[/math] هر دو مثبت هستند پس این بازه هم قابل قبول است .
نتیجه می گیریم که گزینه 4 پاسخ صحیح مساله است .
3-اگر [math]f(x)=2x+3[/math] و [math] g(f(x)) = 8{x^2} + 22x + 20 [/math] باشند ، ضابطه [math]fog[/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری-رشته ریاضی-92)
1)[math] 2{x^2} – 7x + 3 [/math]
2) [math] 2{x^2} – 3x + 7 [/math]
3) [math] 4{x^2} – 2x + 13 [/math]
4)[math] 4{x^2} – 4x + 11 [/math]
جواب :
[math]g(f(x)) = 8{x^2} + 22x + 20 \\ g(2x + 3) = 8{x^2} + 22x + 20 = 2{(2x + 3)^2} – (2x + 3) + 5 \to g(x) = 2{x^2} – x + 5 \\ fog = f(g(x)) = 2(2{x^2} – x + 5) + 3 = 4{x^2} – 2x + 13 \\[/math]
4-تابع [math] f(x) = {x^2} + 2x + 1 [/math] با دامنه [math] ( – 1, + \infty ) [/math] مفروض است .دو تابع
[math] f,{f^{ – 1}} [/math] در چند نقطه متقاطع هستند؟
1)1 2)2 3)3 )غیر متقاطع
جواب :
قبل از جواب یک نکته را یادآوری می کنیم ،اگر تابع [math]f[/math] اکیدا صعودی باشد آنگاه نقطه تقاطع [math] f,{f^{ – 1}} [/math] در صورت وجود ، روی خط [math]y=x[/math] خواهد بود .
بنابر این داریم که تابع فوق یک تابع اکیدا صعودی است پس با خط [math]y=x[/math] هم متقاطع هست لذا:
[math]{x^2} + 2x + 1 = x \\ {x^2} + x + 1 = 0 \\[/math]
ریشه های معادله فوق را باید بدست آوریم .
[math]{x^2} + x + 1 = 0 \to \Delta = 1 – 4 < 0[/math]
معادله ریشه ندارد پس غیر متقاطع است .
5-اگر تابع [math]f={(-2,2),(m,3),(-1,3),(2m,a)}[/math] یک به یک باشد ، [math]a[/math] کدام است ؟
1)-2 2)-1 3)1 4)2
جواب :
شرط یک به یک بودن زوجهای مرتب آن است که هیچ دو زوج مرتبی دارای مولفه های دوم برابر نباشند ، اما در صورتی که مولفه های دوم برابر باشند حتما مولفه های اول نیز باید برابر باشند پس در این زوج مرتب داریم که [math](m,3),(-1,3)[/math] دارای مولفه های دوم یکسان هست پس مولفه های اول آنها نیز باید برابر باشند :
[math](m,3),( – 1,3) \to m = – 1[/math]
باز دوزوج مرتب دیگر خواهیم داشت که مولفه های دومشان برابر هست که مولفه های اولشان نیز باید برابر باشند :
[math]m = – 1 \to (2m,a) = ( – 2,a) \\ \left\{ \begin{array}{l} ( – 2,a) \\ ( – 2,2) \\ \end{array} \right\} \to a = 2 \\[/math]
پس گزینه 4 صحیح است .
خیلی سایت قشنگ ودیدنی