تابع جزء صحیح و جزء صحیح اعداد
تابع جزء صحیح و جزء صحیح اعداد
1-جزء صحیح : برای هر عدد حقیقی مانند [math]x[/math] ،جزء صحیح این عدد ، بزرگترین عدد صحیحی است که از [math]x[/math] کوچکتر یا برابر آن است.در واقع جزء [math]x[/math] که با نماد [math][x][/math] نمایش می دهیم بین دو عدد صحیح متوالی قرار می گیرد و برابر عدد صحیح کوچکتر است .
نکته :جزء صحیح اعداد حقیقی مثبت با حذف قسمت اعشاری آنها بدست می آید و جزء صحیح اعداد حقیقی منفی از کم کردن یک واحد از قسمت صحیح آنها بدست می آید .
به بیانی ساده تر :
الف)اگر [math]x[/math] صحیح باشد .جز صحیح [math]x[/math] خودش می باشد .مانند :
[math] \left[ 3 \right] = 3,\left[ { – 2} \right] = – 2,\left[ {100} \right] = 100 [/math]
ب)اگر [math]x[/math] غیر صحیح باشد ،آنگاه جزء صحیح [math]x[/math] عدد صحیح قبل از عدد [math]x[/math] روی محور اعداد حقیقی خواهد بود . عدد قبلی یعنی در واقع عدد کوچکتر است.
مثال1 :مطلوبست جزء صحیح اعداد زیر
1)[math][-3/5][/math]
2)[math][2/1][/math]
گزینه 1 را ابتدا بررسی می کنیم خوب این عدد باید بین دو عدد صحیح متوالی قرار بگیرد که از یکی کوچکتر و از دیگری بزرگتر باشد یعنی خواهیم داشت که :
[math] – 4 < – 3/5 < – 3 \to [ – 3/5] = – 4 [/math]
چون منفی 4 کوچکتر است پس جزء صحیح عبارت ما برابر عدد کوچکتر می شود که برابر عدد منفی 4 است.همچنین عدد منفی 4 روی محور قبل از عدد [math]-3.5[/math] قرار دارد .
در فیلم زیر می بینیم که این عدد روی محور اعداد چگونه بین دو عدد قرار گرفته است و در نهایت مقدار صحیح آن به سمت عدد قبلی و کوچکتر می رود.
گزینه 2 را بررسی می کنیم باز باید این عدد حقیقی بین دو عدد صحیح متوالی قرار بگیرید :
[math] 2 < 2/1 < 3 \to [2/1] = 2 [/math]
چون عدد 2 کوچکتر است پس جزء صحیح برابر عدد کوچکتر یعنی برابر 2 است . همچنین روی محور عدد 2 قبل از عدد [math]2.1[/math] قرار گرفته است .
اکنون فیلم زیر را ببینید ، در این فیلم نشان می دهیم که چگونه جزء صحیح هر عدد ، روی محور اعداد حقیقی ،برابر می شود با عدد قبلی یا در واقع همان عدد کوچکتر .
تابع جزء صحیح
برای هر عدد حقیقی [math]x[/math] را می توان به صورت جمع یک عدد صحیح مانند [math]n[/math] با ( یک قسمت اعشاری مثبت) مانند [math]p[/math] که [math] 0 \le p < 1 [/math] نوشت در اینصورت جزء صحیح [math]x[/math] را عدد [math]n[/math] می نامیم و بصورت [math][x][/math] نمایش می دهیم .
[math]\left\{ \begin{array}{l}x = n + p\\0 \le p < 1\end{array} \right\} \Rightarrow \left[ x \right] = n[/math]
تعریف ریاضی تابع جزء صحیح تابع [math] f:R \to Z [/math] را تابع جزء صحیح می گوییم هر گاه [math]R[/math] دامنه تابع و [math]Z[/math] برد تابع باشد . و آن را به صورت ریاضی بصورت زیر نشان می دهیم :
[math]f:\left\{ \begin{array}{l}R \to Z\\x \to \left[ x \right]\end{array} \right\}[/math]
و بصورت [math]f(x)=[x][/math] نوشته می شود.
یعنی در تابع جزء صحیح ، ورودیهای تابع ما اعداد حقیقی است ، اما در نهایت خروجی تابع ما اعدادی صحیح است .
مثال1 : حاصل عبارت [math] \left[ {\sqrt 4 } \right] + \left[ {\sqrt 5 } \right] [/math] را حساب کنید .
پاسخ :
با توجه به اینکه می دانیم مقدار تقریبی رادیکال 5 بین عدد 2 و 3 می باشد پس جزء صحیح آن برابر عدد 2 می شودپس :
[math] \left[ {\sqrt 4 } \right] + \left[ {\sqrt 5 } \right] = 2 + 2 = 4[/math]
مثال 2: اگر [math] \left[ x \right] = 3 [/math] باشد حدود [math]x[/math] را حساب کنید؟
چون جزء صحیح برابر عدد 3 است پس x می تواند تمام مقادیر بین دو عدد 3 و 4 را اختیار کند بنابر این :
[math] \left[ x \right] = 3 \Rightarrow 3 \le x < 4[/math]
مثال 3:اگر [math] \left[ x \right] = \sqrt 2 [/math] باشد حدود x را تعیین کنید؟
این معادله جواب ندارد چون جزء صحیح باید یک عدد صحیح باشد در حالی که اینجا برابر رادیکال 2 شده که عددی گنگ است .
مثال 4: اگر [math] {(1 + \sqrt 2 )^6} + {(1 + \sqrt 2 )^6} = 198 [/math] ،جزء صحیح عدد
[math] {(1 + \sqrt 2 )^6} [/math] کدام است ؟ (تست کنکور سراسری ریاضی 68)
1)195 2)196 3)197 4)198
پاسخ :
می دانیم که [math] |1 – \sqrt 2 | = 0.41 [/math] بنابر این
[math] |1 – \sqrt 2 | = 0.41 \Rightarrow 0 \le {(1 – \sqrt 2 )^6} < 1[/math]
از طرفی جمع دو عدد [math] {(1 + \sqrt 2 )^6},{(1 + \sqrt 2 )^6} [/math] برابر 198 شده است ودر رابطه بالا دیدیم که [math] 0 \le {(1 – \sqrt 2 )^6} < 1 [/math] بنابر این باید [math] 197 < {(1 + \sqrt 2 )^6} < 198 [/math] باشد در این صورت داریم
[math] 197 < {(1 + \sqrt 2 )^6} < 198 \Rightarrow \left[ {{{(1 + \sqrt 2 )}^6}} \right] = 197[/math]