نمونه سوالات امتحانی نهایی و تست کنکور -تابع یک به یک
1-آیا تابع [math] f(x) = {x^2} – 2x[/math] یک به یک است ؟ (امتحان نهایی حسابان –خرداد 93)
جواب:
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to x_1^2 – 2{x_1} = x_2^2 – 2{x_2} \\ \left\{ \begin{array}{l} f(0) = 0 \\ f(2) = 0 \\ \end{array} \right\} \to f(0) = f(2) \to 0 \ne 2 \to {x_1} \ne {x_2} \\[/math]
تابع فوق یک به یک نیست.
2-آیا تابع [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{2x + 3} [/math] یک به یک است ؟ ( امتحان میان ترم دبیرستان صادقیه)
جواب :
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to \frac{{{x_1} – 1}}{{2{x_1} + 3}} = \frac{{{x_2} – 1}}{{2{x_2} + 3}} \Rightarrow ({x_1} – 1)(2{x_2} + 3) = ({x_2} – 1)(2{x_1} + 3) \\ 2{x_1}{x_2} + 3{x_1} – 2{x_2} – 3 = 2{x_1}{x_2} – 2{x_1} + 3{x_2} – 3 \\ 5{x_1} = 5{x_2} \to {x_1} = {x_2} \\[/math]
پس تابع یک به یک است .
3-تابع f با ضابطه زیر داده شده است ثابت کنید که این تابع در بازه [math] ( – \infty ,2)[/math] یک به یک است.(امتحان نهایی حسابان سال 85)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x – {x^2} – 3} & {x < 2} \\ {x – 2} & {x \ge 2} \\\end{array}} \right\} \\ y = – {x^2} + 4x – 3 = – [{(x – 2)^2} – 1] \\ \left\{ \begin{array}{l} {y_1} = – [{({x_1} – 2)^2} – 1] \\ {y_2} = – [{({x_2} – 2)^2} – 1] \\ \end{array} \right\} \to {y_1} = {y_2} \to – [{({x_1} – 2)^2} – 1] = – [{({x_2} – 2)^2} – 1] \to \\ {({x_1} – 2)^2} = {({x_2} – 2)^2} \to ({x_1} – 2) = ({x_2} – 2) \to {x_1} = {x_2} \\[/math]
ضابطه دوم هم مشخص است که یک به یک است . پس تابع کلا یک به یک است.
4- نشان دهید تابع f با ضابطه [math] f(x) = \sqrt {2x – 3} [/math] یک به یک است .(امتحان نهایی حسابان دی ماه 87)
جواب :
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to {x_1} = {x_2} \\ \sqrt {2{x_1} – 3 = } \sqrt {2{x_2} – 3} \to 2{x_1} – 3 = 2{x_2} – 3 \to 2{x_1} = 2{x_2} \to {x_1} = {x_2} \\[/math]
تابع یک به یک است.
5-ثابت کنید تابع [math] f(x) = \frac{{x – 1}}{x} [/math] یک به یک است.
جواب :
[math]f({x_1}) = f({x_2}) \to {x_1} = {x_2} \\ \frac{{{x_1} – 1}}{{{x_1}}} = \frac{{{x_2} – 1}}{{{x_2}}} \to {x_1}{x_2} – {x_2} = {x_1}{x_2} – {x_1} \to {x_1} = {x_2} \\[/math]
تابع یک به یک است .
6-نابع با ضابطه زیر بر روی مجموعه اعداد حقیقی چگونه است ؟ )کنکور سراسری رشته ریاضی 89)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} – 1} & {x \ge 0} \\ {1 – {x^2}} & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)پوشا –یک به یک 2)پوشا –غیر یک به یک 3)غیر پوشا –یک به یک 4)غیر پوشا –غیر یک به یک
جواب : ابتدا به کمک رسم نمودار ، نمودار تابع را ترسیم می کنیم . نمودار این تابع بصورت زیر خواهد بود .
طبق تعریف تابع یک به یک از دیدگاه رسم نمودار داریم که هر گاه هر خط موازی محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند یعنی نباید بیش از یک نقطه باشد پس تابع فوق یک به یک نیست .
اما برای بررسی پوشا بودن ،هر خط موازی محور x ها نمودار تابع را حداقل در یک نقطه باید قطع کند پس نمودار فوق پوشا است.
پس گزینه 2 درست است.
7-تابع با ضابطه زیر چگونه است ؟ (کنکور سراسری –رشته ریاضی 85)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x } & {x \ge 0} \\ {2 + x} & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)یک به یک –پوشا 2)یک به یک –غیر پوشا 3)غیر یک به یک – پوشا 4)غیر یک به یک – غیر پوشا
جواب : برای بررسی این تابع چند ضابطه بهترین راه آن است که نمودار تابع را رسم کنیم .
طبق تعریف تابع یک به یک از دیدگاه رسم نمودار داریم که هر گاه هر خط موازی محور x ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند یعنی نباید بیش از یک نقطه باشد پس تابع فوق یک به یک نیست .
اما برای بررسی پوشا بودن ،هر خط موازی محور x ها نمودار تابع را حداقل در یک نقطه باید قطع کند پس نمودار فوق پوشا است.
پس گزینه 3 پاسخ صحیح است .
8-اگر تابع [math] f = \{ (m,3),( – 2,4),(2m,a),( – 1,3)\} [/math] یک به یک باشد ، [math]a[/math]کدام است ؟(سنجش جامع رشته تجربی 92)
1)4- 2)1- 3)2 4)4
جواب:
یک زوج مرتب زمانی یک به یک است که هیچ کدام از زوجهای مرتب مولفه دومشون برابر نباشن ،واگر برابر بودن پس مولفه اول نیز باید برابر باشد اکنون با مقایسه [math] (m,3),(-1,3)[/math] متوجه می شویم چون مولفه های دوم یکسان است پس مولفه های اول نیز باید برابر باشند پس [math] m=-1[/math]
اکنون در زوج مرتب [math] (-2,4),(2m,a)[/math] و با در نظر گرفتن [math] m=-1[/math] داریم که [math] (-2,4),(-2,a)[/math] پس [math] a=4 [/math]
گزینه 4 صحیح است
9-تابع [math] f:[ – 4,4] \to [ – 4,4][/math] با ضابطه [math] f(x)=[x][/math] چگونه است ؟ (سراسری تجربی خارج از کشور 87)
1)یک به یک –پوشا 2)یک به یک – غیر پوشا
3)غیر یک به یک –پوشا 4)غیر یک به یک – غیر پوشا
جواب : از خصوصیات تابع جزء صحیح داریم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l} x = – 3 \to [ – 3] = – 3 \\ x = – 2.8 \to [ – 2.8] = – 3 \\ \end{array} \right\} \to [( – 3, – 3),( – 2.8, – 3)] \in f \\[/math]
یعنی دو زوج مرتب وجود دارندکه مولفه های دومشان یکسان است اما مولفه های اول برابر نیست پس تابع یک به یک نیست .
اما تابع پوشا است چون به ازای دامنه آن برد تمام تابع را پوشش می دهد.
پس گزینه 3 صحیح است .
10-تابع [math]f[/math] با نمودار شکل مقابل چه تابعی است ؟ (سراسری تجربی 84)
1)یک به یک –پوشا
2)غیر یک به یک –پوشا
3)یک به یک – غیر پوشا
4)غیر یک به یک – غیر پوشا
جواب : تابع یک به یک نیست زیرا دو فلاش به خروجی t وارد شده است . و این با تعریف یک به یک بودن تابع از دیدگاه نمودار ون متناقض است .همچنین پوشا نیست زیرا دامنه ان تمام برد را پوشش نمی دهد هیچ فلاشی به عضو u وصل نشده است پس
گزینه 4 صحیح است.
با سلام و سپاس از زحماتتون، یه سوال داشتم از حضورتون .برای استفاده از مبحث نمونه سوالات باید چیکار کنم کامل باز نمیشه و مینویسه” اعتبار حساب شما برای مشاهده محتویات کافی نیست”. لطفا راهنمایی کنید .باتشکر.
باید حق عضویت و اشتراک بخرید