توابع زوج و فرد
توابع زوج و فرد
تابع زوج
اگر دامنه تابعی نسبت به مبدا متقارن باشد یعنی [math]f(-x)=f(x)[/math] باشد این تابع زوج است .اکنون تعریف جامع را ارایه می دهیم.
تابع [math]f(x)[/math] را زوج گویند هر گاه دو شرط زیر را دارا باشد.
1-به ازای هر [math]x[/math] متعلق به دامنه [math]f(x)[/math] آنگاه [math]-x[/math] هم متعلق به دامنه [math]f(x)[/math] باشد.
2-تساوی [math]f(-x)=f(x)[/math] برای تمام [math]x[/math] های دامنه تابع بر قرار باشد.
نکته 1:نمودار تابع زوج نسبت به محور [math]y[/math] ها متقارن است.
نکته 2: اگر [math]f,g[/math] توابع زوجی باشند آنگاه اعمال جبری روی این توابع مانند جمع و تقسیم و ضرب و تفریق دوتابع نیز زوج خواهد بود.
مثال :توابع زیر را بررسی کنید آیا این توابع زوج هستند.
1-[math] f(x) = x\sin x + \cos 3x[/math]
[math]f( – x) = – x\sin ( – x) + \cos ( – 3x) \to \left\{ \begin{array}{l} \sin ( – x) = – \sin x \\ \cos ( – x) = \cos x \\ \end{array} \right\} \to f( – x) = x\sin x + \cos 3x = f(x) \\[/math]
پس تابع فوق زوج است .
2-[math]f(x)=|x-1|-|x+1|[/math]
[math]f( – x) = | – x – 1| – | – x + 1| \\ \left\{ {| – u| = |u|} \right\} \\ f( – x) = |x + 1| – |x – 1| \to f( – x) = – (|x – 1| – |x + 1|) = – f(x) \\[/math]
تابع فوق زوج نیست و یک تابع فرد است.
تابع فرد
اگر دامنه تابعی نسبت به مبدا متقارن باشد یعنی [math]f(-x)=-f(x)[/math] باشد این تابع فرد است .اکنون تعریف جامع را ارایه می دهیم.
تابع [math]f(x)[/math] را فرد گویند هر گاه دو شرط زیر را دارا باشد.
1-به ازای هر [math]x[/math] متعلق به دامنه [math]f(x)[/math] آنگاه [math]-x[/math] هم متعلق به دامنه [math]f(x)[/math] باشد.یعنی تقارن نسبت به مبدا
2-تساوی [math]f(-x)=-f(x)[/math] برای تمام [math]x[/math] های دامنه تابع بر قرار باشد.
نکته 1:نمودار تابع فرد نسبت به مبدا مختصات متقارن است.
نکته 2: اگر [math]f,g[/math] توابع فرد باشند آنگاه [math]f.g[/math] و [math]\frac{f}{g}[/math] زوج خواهند بود و بقیه اعمال روی این دو تابع فرد خواهند بود.
مثال 2: توابع زیر را از نظر زوج و فرد بودن بررسی کنید .
[math]f(x) = x(|x| + [{x^2}]) \\f( – x) = – x(| – x| + [{( – x)^2}]) = – x(|x| + [{x^2}]) = – f(x) \\[/math]
تابع فوق فرد است.
[math]f(x) = 2x + \sin 2x \\ f( – x) = – 2x + \sin ( – 2x) = f( – x) = – 2x – \sin 2x = – f(x) \\ \{ \sin ( – x) = – \sin (x)\} \\[/math]
نکته 1: اگر [math]f(x)[/math] تابعی باشد که دامنه آن نسبت به صفر متقارن باشد آنگاه [math]f(x)+f(-x)[/math] یک تابع زوج و [math]f(x)-f(-x)[/math] تابع فرد می باشد.
برای اثبات این تساوی فرض می کنیم که [math]h(x)=f(x)+f(-x)[/math] باشد آنگاه داریم که
[math]h(x) = f(x) + f( – x) \\ h( – x) = f( – x) + f( – ( – x)) = f( – x) + f(x) = h(x) \\[/math]
پس نتیجه می گیریم که [math]f(x)+f(-x)[/math] تابع زوج است . همچنین برای حالت فرد داریم که اگر فرض کنیم که :
[math]k(x) = f(x) – f( – x) \\ k( – x) = f( – x) – f( – ( – x)) = f( – x) – f(x) = – k(x) \\[/math]
پس نتیجه می گیریم که [math]f(x)-f(-x)[/math] تابع فردی است.
نکته 2: اگر تابع [math]f(x)[/math] زوج باشد و [math]k[/math] یک عدد حقیقی باشد آنگاه [math]kf(x)[/math] نیز تابع زوج است. و اگر [math]f(x)[/math] فرد باشد [math]kf(x)[/math] نیز فرد است.
نکته 3: با توجه به نکات بالاهر تابع [math]f(x)[/math] را می توان بصورت مجموع یک تابع زوج و فرد بصورت زیر نوشت
[math] f(x) = \frac{{f(x) + f( – x)}}{2} + \frac{{f(x) – f( – x)}}{2}[/math]
نمونه سوالات و تمرینهای حل شده امتحانی و تست ،توابع زوج و فرد
1-زوج و فرد بودن تابع [math] f(x) = {x^2} + \cos x [/math] را معلوم کنید .(امتحان نهایی حسابان دی ماه 91)
2-زوج یا فرد بودن تابع [math]f(x)=3x+sinx[/math] را مشخص کنید (امتحان نهایی حسابان-شهریور 91)
3-زوج یا فرد بودن تابع [math] f(x) = \frac{{{x^3} – 3x}}{{{x^2} – 1}}[/math] را معلوم کنید (امتحان نهایی حسابان-شهریور 90)
4-زوج یا فرد بودن تابع [math] f(x)=x\sqrt {27 – 3{x^2}}[/math] را معلوم کنید (امتحان نهایی حسابان-دی ماه 89)
5-به ازای کدام مقدار [math]m[/math] تابع با ضابطه [math] f(x) = \log \frac{{x + \sqrt {{x^2} + m} }}{2} [/math] یک تابع فرد است ؟ ( تست –سنجش جامع ریاضی -93)
1)4 2)1 3)4- 4)هیچکدام
6-زوج و فرد بودن توابع زیر را بررسی کنید.
1-[math] f(x) = [{x^2}]|x| [/math]2-[math]f(x) = \log (2x + \sqrt {4{x^2} + 1}[/math]
برای دیدن پاسخ سوالات به این لینک (پاسخ سوالات)کلیک کنید
1-چگونه زوج و فرد بودن تابع چند ضابطه ای را تشخیص دهیم؟