ترکیب توابع-ترکیب دو تابع
ترکیب توابع
هر گاه خروجی یک تابع را به عنوان وروی یک تابع دیگر استفاده کنیم،یعنی در واقع دو تابع را با هم ترکیب کرده ایم
در شکل بالا دقت کنید ،همانطور که می بینید ما یک ماشین تولیدی داریم که وروی به تابع [math]g[/math] داریم ،حالا خروجی تابع [math]g[/math] به عنوان ورودی به تابع [math]f[/math] وارد می شود و نتیجه خروجی این ماشین تابع [math]fog[/math] خواهد بود.
ترکیب دو تابع از دیدگاه زوج مرتب و نمودار پیکانی
برای فهم بهتر مطلب با استفاده از یک مثال ترکیب دو تابع را از دیدگاه زوج مرتب و نمودار پیکانی را با هم بررسی می کنیم شکل زیر را ببینید.
در شکل بالا ببینید که p متعلق به دامنه [math]g[/math] این عنصرتوسط تابع [math]g[/math] به سمت عنصرa تصوير شده است . عنصرa متعلق به برد تابع [math]g[/math] است .از طرفی عنصرa در دامنه تابع [math]f[/math] قرار گرفته است .و توسط تابع [math]f[/math] به سمت عدد 6 تصویر می شود .پس اکنون ما می توانیم رابطه ای یا تابعی را پیدا کنیم که عنصر p موجود در دامنه [math]g[/math] را مستقیما به[math]6 \in {R_f}[/math] موجود در برد f منتقل کند .این تابع جدید را ما ترکیب دو تابع و بصورت [math]fog[/math] نمایش دهیم .اکنون می توانیم رابطه فوق را بصورت زوج مرتب زیر نمایش دهیم.
اکنون دقت کنید که در رابطه بالا عنصر q و r به سمت عنصر b پیکانی دارد اما عنصر b به سمت مجموعه C برد f هیچ پیکانی ندارد پس در ترکیب توابع قرار نمی گیرد.
ما فقط برای عنصر p می توانیم رابطه ای پیدا کنیم که از مجموعه A آغاز می شود و به مجموعه C منتقل می شود اما عناصر دیگر q,r چنین خاصیتی را ندارند پس می توان گفت این عناصر در ترکیب تابع ما وارد نمی شوند.پس در شکل بالا اگر بخواهیم زوج مرتبی در ترکیب تابع باشند ،باید این عنصر متعلق به مجموعه A پیکانی داشته باشد که از مجموعه A به سمت مجموعه B رفته و از آنجا به مجموعه C ختم شود تا این زوج مرتب ،بتواند در ترکیب توابع قرار گیرد.
پس می توان گفت که :
ترکیب دو تابع f,g را بصورت fog زمانی می توانیم تعریف کنیم که برد تابع g و دامنه تابع f با هم نقطه اشتراکی داشته باشند.
مثال 1: اگر [math]f:A \mapsto B[/math] و [math]g:B \mapsto C[/math] مطابق شکل زیر باشد :
داریم :
[math]gof(p) = g[f(p)] = g(a) = 6[/math]
[math]gof(q) = g[f(q)] = g(b) = 2[/math]
[math]gof(r) = g[f(r)] = g(b) = 2[/math]
در حالت زوج مرتب زمانی می توان [math]fog[/math] را به صورت دو زوج مرتب را با هم ترکیب کرد که در تابع اول [math]f[/math]عنصر دوم زوج مرتب و درتابعدوم [math]g[/math] عنصر اول زوج مرتب مشترک باشند .مانند در زوج مرتب زیر که قابل ترکیب هستند.علاوه بر این دامنه تابع اول [math]f[/math] و برد تابع دوم [math]g[/math] با هم عنصر مشترکی داشته باشند و در واقع فقط در این عنصر مشترک ما می توانیم دو تابع را ترکیب دهیم.
مثال:اگر :[math]f=\left \{ (1,3),(2,4) \right \}[/math] و تابع دیگر[math]g=\left \{ (-1,1),(3,2),(4,7) \right \}[/math]باشد .تابع [math]fog[/math] و [math]gof[/math] را بدست آورید.
جواب :برای محاسبه [math]fog[/math] ابتدا دامنه [math]f [/math] و برد [math]g[/math] را محسبه می کنیم.
[math]{D_f} = \{ 1,2\} \\ {R_g} = \{ 1,2,7\} \\[/math]
اشتراک دامنه f و برد تابع g برابر با {1,2} است یعنی در [math]fog[/math] بصورت زیر است
[math](3,2) \in g,(2,4) \in f \to (3,4) \in fog \\ (fog)(3) = f[g(3)] = f(2) = 4 \\ ( – 1,1) \in g,(1,3) \in f \to ( – 1,3) \in fog \\ (fog)( – 1) = f[g( – 1)] = f(1) = 3 \\[/math]
برای محاسبه حالت دوم یعنی [math]gof[/math]
[math]{D_g} = \{ – 1,3,4\} \\ {R_f} = \{ 3,4\} \\[/math]
اشتراک دامنه f و برد تابع g برابر با {3,4} است یعنی در [math]gof[/math] بصورت زیر است
[math](1,3) \in f,(3,2) \in g \to (1,2) \in gof \\ (gof)(1) = g[f(1)] = g(3) = 2 \\ (2,4) \in f,(4,7) \in g \to (2,7) \in gof \\ (gof)(2) = g[f(2)] = g(4) = 7 \\[/math]
ترکیب توابع با استفاده از ضابطه ریاضی :
در این حالت کافیست برای ترکیب تابع ،در تابع اول به جای متغیر آن ، تابع دوم را جانشانی کنیم .برای فهم بهتر مثال زیر را با هم بررسی می کنیم
مثال : تابعهای [math]f[/math] و [math]g[/math] دو تابع چند جمله ای ساده هستند ،مشخص است که دامنه و برد این دو تابع اعداد حقیقی هستند . پس نقطه اشتراک فراوانی با هم دارند ،لذا برای ترکیب این دو تابع مشکلی نداریم
[math]g(x) = {x^2} + 3 \\f(x) = x + 2 \\[/math]
برای محاسبه ترکیبهای آن بصورت زیر عمل می کنیم.
[math](fog(x)) = f[g(x)] = f({x^2} + 3) = {x^2} + 3 + 2 = {x^2} + 5 \\ (gof(x)) = g[f(x)] = g(x + 2) = {(x + 2)^2} + 3 = {x^2} + 4x + 4 + 3 = {x^2} + 4x + 7 \\[/math]
با توجه به مطالب گفته شده در بالا می توانیم نتیجه گیری و جمع بندی زیر را داشته باشیم :
1-
[math](fog)(x) = f[g(x)] \\ {D_{fog}} = \{ x|x \in {D_g},g(x) \in {D_f}\} \\[/math]
2-
[math](gof)(x) = g[f(x)] \\ {D_{gof}} = \{ x|x \in D{}_f,f(x) \in {D_g}\} \\[/math]
نمونه سوالات امتحانی با پاسخ تشریحی و تمرینات حل شده توابع مرکب
1-دو تابع [math]f(x)=x-1[/math] و [math]g(x)= \sqrt {x + 2} [/math] را در نظر بگیرید (امتحان نهایی-سراسری-دی 92)
الف)دامنه [math]gof[/math] را بدون محاسبه [math](gof)(x)[/math] بدست آورید
ب)ضابطه [math]gof[/math] را بدست آورید.
2-اگر [math] f(x) = {x^2} + 2x + 2[/math] باشد تابع [math]g(x)[/math] را به گونه ای مشخص کنید که
[math] (fog)(x) = {x^2} – 4x + 5 [/math]
(امتحان نهایی حسابان خرداد 93-رشته ریاضی)
3-اگر[math] f(x) = \left\{ {(4,5),(6,3),(7,1)} \right\},g(x) = \left\{ {(3,4),(6,0),(4,6)} \right\}[/math] در تابع باشند آنگاه [math]fog[/math] ا محاسبه کنید .
(امتحان نهایی حسابان-رشته ریاضی-دی ماه 91)
4-دو تابع [math]f(x)=3x+a[/math] و [math]g(x)=ax+3b[/math] را در نظر بگیرید ،مقادیر [math]a,b[/math] را به گونه ای بیابید که [math](fog)(x)=3x-10[/math] باشد.
(امتحان نهایی حسابان-شهریور 89)
5-اگر [math]f(x)=[x+1][/math] و [math]g(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-3}[/math] باشند ،مطلوبست دامنه تابع [math]fog[/math]
(امتحان نهایی حسابان-خرداد 89)
6-اگر [math]g(x)=2x-1[/math] و[math](fog)(x)=\frac{x}{{x – 3}}[/math] مقدار (f(3 کدام است ؟
کنکور سراسری 91 رشته ریاضی
1)-4
2)-2
3)2
4)4
7-در تابع با ضابطه زیر مقدار [math]f(f(5))+f(f(1)) [/math] کدام است ؟ (کنکور90 رشته تجربی)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – \sqrt {x + 4} } & {x > 3} \\ {2x + 3} & {x \le 3} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)6 2)7 3)8 4)9
8-اگر [math] f(x – 3) = {x^2} – 4x + 5[/math] آنگاه [math]f(1-x)[/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری 90 رشته تجربی)
1)[math]{x^2}+1[/math]
2)[math]{x^2}+3[/math]
3)[math]{x^2}+4x+5[/math]
4)[math]{x^2}-4x+5[/math]
9-دو تابع [math]f(x)=[x]+[-x][/math] و [math]g(x)={x^2}+x-2[/math] مفروض اند.اگر [math]g(f(x))=-2[/math] مجموعه مقادیر X کدام است ؟ (کنکور 89 رشته ریاضی)
1)R-Z
2)Z
3)R
4)تهی
10-اگر [math]f(x)=2x+2a[/math] و [math]g(x)={x^2}+bx+c[/math] و [math]fog=2{x^2}+x+1[/math] آنگاه مقدار [math]a+b+c[/math] را بدست اورید. (کنکور آزاد تجربی -79)
1)1
2)2
3)-1
4)-3
برای مشاهده پاسخ سوالات لینک را کلیک کنید
واقعا خیلی عالی بود
ممنون!
خوب بود!
واقعا ممنون سایت فوق العاده ایه
خیلی خوبه. ممنون