انتگرال های تغییر متغیر (جانشانی) به کمک توابع مثلثاتی

در انتگرالهای تغییر متغیر به انتگرالهایی برخورد می کنیم که حالتهای خاصی دارند .که اگر چه در ظاهر ،چند جمله ای هستند اما برای محاسبه آنها باید از تغییر متغیر به کمک توابع مثلثاتی استفاده کرد و بطور کلی با روشهای تغییر متغیر(جانشانی) متعارف قابل حل نیستند مثلا

[math] \int {x\sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx\ [/math]

این انتگرال با تغییر متغیر بصورت

[math] u = {a^2} – {x^2}[/math]

براحتی قابل حل هست اما همین انتگرال اگر بصورت زیر باشد

[math] \int { \sqrt {{a^2} – {x^2}} } dx\ [/math]

نمی توان با کمک تغییر متغیری که گفتیم حل کنیم .اینجاست که توابع مثلثاتی به کمک ما می آیند و با استفاده از آنها می توان چنین حالتهایی را به سادگی حل کنیم مثلا در مثال بالا اگر [math] x = a\sin \theta [/math]  قرار دهیم آنگاه بصورت زیر قابل محاسبه خواهد بود :

[math]\int {\sqrt {{a^2} – {x^2}} } \left\{ {x = a\sin \theta } \right\} \\\int {\sqrt {{a^2} – a^2{{\sin }^2}} \theta } = \int {\sqrt {{a^2}(1 – {{\sin }^2}\theta )} } \\\int {\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\theta } } = a\ {\cos \theta } \\[/math]

خوب دیدیم که چگونه با تغییر متغیر مثلثاتی ، محاسبه انتگرل فوق ساده می شود ، بطور کلی ما برای استفاده از تغییر متغیر با توابع مثلثاتی با فرمول زیر سرو کار خواهیم داشت که :

[math] \int {f(x)dx = \int {f(x(\theta ))\frac{{dx}}{{d\theta }}} } d\theta  [/math]

یعنی ما در انتگرال فوق با تغییر متغیری بصورت [math] x = x(\theta) [/math] سرو کار داریم که یک تابع مثلثاتی است.خوب این حالت و این روش در کجا کاربرد دارد و در کدام انتگرالها ما می توانیم از این روش استفاده کنیم برای جواب ماسه حالت کلی این انتگرالها را بصورت کلی در جدول زیر نشان می دهیم :

از جدول بالا می فهمیم که چنانچه عبارت انتگرال شما ، هر کدام از حالتهای فوق را داشته باشد ، شما باید از تغییر متغیر به روش مثلثاتی استفاده کنید ،که در ستون دوم جدول فوق مشخص کرده است که برای هر کدام از حالتها ، به چه روشی تغییر متغیر را انجام دهیم . اکنون در انتهای توضیحات این پست یک مثال را حل می کنیم و بقیه تمرینات حل شده مرتبط را می توانید در پست بعدی مشاهده کنید

مثال 1: انتگرال زیر را حل کنید:

[math]\int {\frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{{{x^2}}}} dx = ? \\[/math]

برای حل این انتگرال باید تغییر متغیری بصورت زیر انجام دهیم

[math] \left\{ {x = 3\sin \theta  \Rightarrow dx = 3\cos \theta } \right\} \\ \left\{ {\sqrt {9 – {x^2}}  = \sqrt {9 – 9{{\sin }^2}\theta }  = \sqrt {9{{\cos }^2}\theta }  = 3\cos \theta } \right\} \\ \int {\frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{{{x^2}}}} dx = \int {\frac{{3\cos \theta }}{{9{{\sin }^2}\theta }}} 3\cos \theta d\theta  \\  = \int {\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}} d\theta  = \int {{{\coth }^2}} \theta d\theta  = \int {({{\csc }^2}} \theta  – 1)d\theta  \\  =  – \coth \theta  – \theta  + c \\  \\ [/math]

خوب اکنون جواب انتگرال بالا محاسبه شد ، اما این جواب نهایی ما نیست چرا که جواب بدست آمده برحسب پارامتر تتا است و ما باید آن را به متغیر x تبدیل کنیم خوب برای نوشتن جواب آخر بر حسب متغیر  [math]x[/math] به ترتیب زیر عمل می کنیم : ابتدا [math] \theta  [/math]  را بر حسب [math]x[/math] می نویسیم :

[math] {x = 3\sin \theta  \Rightarrow \sin \theta  = \frac{x}{3}}[/math]

سپس مثلث قائم الزاویه ای رسم می کنیم و اضلاع آن را طوری نام گذاری می کنیم که سینوس برابر با [math] \frac{x}{3} [/math] شود و با توجه به اینکه سینوس برابر با ضلع روبرو تقسیم بر وتر یعنی:

بنابر این ضلع روبرو را برابر با [math]x[/math]  و وتر را برابر با 3 قرار می دهیم در واقع ما مثلثی می خواهیم که رابطه بالا در مورد سینوس صادق باشد

و طبق قضیه فیثاغورث ،مثلث قائم الزاویه ای بصورت زیر بدست می آید :

پس با توجه به مثلث بالا کتانژانت ما بصورت زیر محاسبه می شود

[math] {\coth \theta  = \frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{x}} [/math]

پس جواب نهایی ما بصورت زیر خواهد بود :

[math] \int {\frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{{{x^2}}}} dx =  – \frac{{\sqrt {9 – {x^2}} }}{x} – {\sin ^{ – 1}}\left( {\frac{x}{3}} \right) + c [/math]

چند مثال حل شده برای این بخش