قوانین و فرمولهای پایه انتگرال بخش 1, انتگرال یک جمله ای
ما در بخش قبل مفهوم انتگرال را با هم مرور کردیم و گفتیم که انتگرال چه ارتباطی با مشتق دارد . اکنون می خواهیم گام به گام وارد مبحث انتگرال گیری شویم و یاد بگیریم که چگونه از یک عبارت انتگرال بگیریم و اصل تابع را بدست آوریم . من سعی می کنم که این مفاهیم را گام به گام آموزش دهم تا روند یاد گیری آن آسان باشد . اولین فرمولی که می خواهیم در مورد آن صحبت کنیم عبارت است از انتگرال عدد یک است
1-انتگرال از عدد یک :
∫ dx=x+c
خوب نگاه کنید که انتگرال بالا بسیار ساده است انتگرال عدد یک برابر است با x+c ، الان اگر از جواب انتگرال یعنی عبارت x+c مشتق بگیریم به همان عدد(( یک ))زیر انتگرال می رسیم یعنی چی ؟ یعنی همان قانون ارتباط مشتق و انتگرال معکوس هم هستند، اگر از جواب انتگرال ، مشتق بگیریم دوباره میرسیم به همان عبارت زیر انتگرال.الان ما اولین و ساده ترین فرمول انتگرال را فراگرفتیم حالا می خواهیم انتگرال اعدادی غیر از یک را هم یاد بگیریم .مثلا اگر زیر انتگرال عددی 2 یا 3 یا 10 و یا هر عدد دیگر باشد جواب انتگرال چیست ؟
2-انتگرال اعداد ثابت:
∫ a dx=ax+c
در اینجا عدد a می تواند هر عدد ثابتی باشد چه مثبت و چه منفی فرقی نمی کند .مثلا
∫5 dx=5x+c
∫ -2 dx=-2x+c
3-انتگرال یک متغیر:
آنچه که تا کنون فراگرفتیم مربوط به اعداد بود اکنون یک پله بالاتر میریم و این سوال را مطرح می کنیم که اگر عبارت انتگرال ما بجای عدد، ((یک مجهول )) بود مثلا یک متغیر x باشد آنگاه انتگرال این عبارت چه خواهد بود . داستان مشخص است ، شما کمی فکر کنید که مشتق چه عبارتی برابر می شود با x ، جواب روشن است اگر از عبارت زیر مشتق بگیریم، جواب ما عبارت x خواهد بود.
[math]\frac{x^{2}}{2}+c[/math]
به عبارت بالا دقت کنید و از آن مشتق بگیرید خوب جواب شما همان x خواهد شد پس انتگرال عبارت x بصورت زیر است :
∫x dx=[math]\frac{x^{2}}{2}+c[/math]
این سومین فرمولی که یاد گرفتیم و داریم کم کم به جلو حرکت می کنیم الان کمی پیچیده ترش می کنیم و این سوال را مطرح می کنیم که اگر توان x زیر انتگرال برابر 2 باشد آنگاه جواب ما چه خواهد بود یعنی:
باز باید عبارتی را پیدا کنیم که اگر از آن مشتق بگیریم حاصل ما x به توان 2 بشود . خوب جواب مشخص و ساده است عبارت زیر :
[math]\frac{x^{3}}{3}+c[/math]
اگر از عبارت فوق مشتق بگیریم حاصل جواب ما عبارت است از x به توان 2 خواهد بود . اکنو هر چه توان را بزرگتر کنیم با یک رابطه معنا دار بین مخرج وصورت می رسیم و آن هم هر چه توان در صورت باشد همان عدد در مخرج خواهد بود پس ، می توان فرمول کلی انتگرال یک متغیر به توان n را بصورت زیر بیان کرد.
نکته بسیار مهم1 : عبارت فوق برای تمام مقادیر n صحیح است مگر عدد(( منفی یک)) یعنی n میتواند هر عدد منفی یا کسری وحتی اعشاری و … باشد اما نمی تواند برابر عدد ((منفی یک)) باشد ، دلیل این مطلب را در پست بعدی مفصل توضیح خواهم داد . فقط اکنون برای فهم بهتر این فرمول چند مثالی را با هم حل می کنیم .
البته برای هر کدام از حالتهای عدد n روشی و نکته ای وجود دارد ،
مثال 1: توان n یک عدد اعشاری
مثال 2: توان n یک عدد کسری است اینجا فرقی نمی کند مانند حالتهای معمولی عمل می کنیم و توان و مخرج را به اضافه یک می کنیم.
نکته2 : دقت کنید که در فرمول x به توان n حتما باید متغیر x به توان nساده باشد یعنی کسری نباشد و اگر کسری بود ما باید تبدیلی انجام دهیم وآن را به صورت کسر بیاوریم و با استفاده از فرمول زیرآن را به صورت کسر بیاوریم .
[math]\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}[/math]
مثال3 :اینجا عبارت x به توان n در مخرج است که با استفاده از فرمول تبدیلی بالا آن را به جمله ساده تبدیل می کنیم و سپس از ان انتگرال می گیریم.
نکته 3 : اگر در فرمول بالا عبارت ما زیر رادیکال بود .باید آن را با استفاده از فرمول زیربه صورت ساده بیاوریم .و سپس انتگرال ان را محاسبه کنیم.
مثال 4:اینجا عبارت متغیر ما زیر رادیکال است که با استفاده از فرمول بالا تبدیل می کنیم و رادیکال تبدیل می شود به توان کسری.
انتگرال جمله x به توان منفی یک ؟
دوست خوبم، جزوه ای داریم که شامل تمام چیزهایی است که برای موفقیت در فهم انتگرال به آن نیاز دارید. حتی اگر سطح شما صفر مطلق نیز باشد با مشاهده دروس را یاد میگیرید .شاید برایتان جالب باشد بدانید هزینه کلاس هر یک از این اساتید مطرح بسیار گران است! ولی شما با هزینه حداقلی و با خرید این جزوه بی نیاز از کلاس کنکور و تقویتی و خصوصی می شوید! و نکته جالب تر اینکه در کنار تدریس جامع پربار، می توانید از استاد درس در مورد هر درسی سوالتان را از طریق فضای مجازی و واتس اب بپرسید .
به سایت جزوه های جامع ما مراجعه کنید
همچنین می توانید در اینستگرام و تلگرام از آخرین اخبار ما مطلع شوید آدرس پیج ما در اینستگرام و تلگرام:
صفحه ما را در تلگرام دنبال کنید و از مطالب آن استفاده کنید.
——————————————
هزاران سلام برای شما منه بی نوا کارودانش بودم سال 73 دیپلم گرفتم ریاضی 2-1 رو با هزار تقلب وشانس و بدبختی قبول شدم الان بعد20سال در دانشگاه دارم مدیریت میخونم به خدا داشتم دیوانه میشدم از هرکسی مفهوم انتگرال رو میپرسیدم گیج ترم میکرد برام خیلی سخت بود حتی روم نمی شد از استاد ریاضی سوال کنم چون حتی ساده ترین مفهوم رو هم نمی فهمیدم خدا به شما عمر با عزت بده
مثبت
هرچند مفاهم ساده عوام باشد.
ن
سلام، مرسي ممنون خیلی خیلی عالی بود واقعا جای تشکر و قدردانی داره
با سلام خدا خیرتون بده هرچی استاد سرکلاس خودشو میکشت چیزی متوجه نمیشدم اما الان مفهوم را فهمیدم میخواستم کپی بگیرم بخونم نمیتونم لطفا اجازه کپی بدید .خیلی خیلی متشکرم واقعاً عالی بود.
خداخيرتون بده
خیلی خیلی عالی بود ممنون
واقعا ممنون.من فردا امتحان داشتم هیچی هم بلد نبودم خدا خیرتون بده
نتوانستم ازت تشکر نکنم.خیلی ممنونم
سلام . برای امتحان آمار احتمالات شهرسازی تو مفهوم به این سادگی گیر کرده بودم . خدا خیرتون بده با یه سرچ ساده پیدا شد
سلام. بسیار بسیار ساده و روان توضیح دادید. خیلی خیلی ممنونم از شما.
خدا خیرتون بده آرزوی سلامتی دارم براتون
قشنگ بود از شما ممنونم
سلام.
دستتون درد نکنه عالیه. هرجا نگاه میکنی یه چیز خیلی پیچیده تعریف میکنن ولی شما بسیار ساده عالی.
دمتون گرم، عالی بود و قابل فهم برای همه 🙂
واقعا مرسی عالی بود
واقعا عالی بود ممنونم از راهنماییتون واقعا کمک بزرگی بود
واقعا عالی هیچی از انتکرال نمیدونستم نمیفهمیدم دستتون درنکنه عالی بودد
خدا خیرتون بده واقعا من کل سال نفهمیدم الان خوندم دم امتحان یاد گرفتم
واقعاً عالي ممنون
آره واقعا
درود وخسته نباشید