معادلات و عبارات جبری قدر مطلق-قدر مطلق بخش 2

قدر مطلق اعداد بخش اول

1-عبارت قدر مطلق برابر یک عدد

[math]|x| = a \Rightarrow x = \pm a[/math]

برای حل معادلاتی که دارای قدر مطلق هستن 2 حالت برای ما اتفاق می افتد حالت اول عبارت زیر قدر مطلق بصورت مثبت از زیر قدر مطلق خارج می شود و حالت دوم عبارت زیر قدر مطلق با علامت منفی خارج می شود.

حالت دوم	حالت اول
در این حالت عبارت زیر قدر مطلق برابر با منفی می شود. [math] |a| = b \Rightarrow a =  – b [/math]	در این حالت طرف قدر مطلق برابر با مقدار مثبت می شود. [math] |a| = b \Rightarrow a = b [/math]
نکته مهم در معادلات جبری دارای قدر مطلق پس از حل آنها و بدست آوردن جواب باید آن را در معادله قرار دهیم و از درست بودن آن اطمینان حاصل کنیم .

مثال1 : عبارت قدر مطلق [math]|x-10|=6[/math]  را بررسی کنید و جواب آن را محاسبه کنید.

قدر مطلق اعداد با قدر مطلق عبارتها جبری متفاوت است

نکته مهم 1:همیشه عبارت جبری یا معادله زیر قدر مطلق وقتی که از قدر مطلق خارج می شوند برابر می شوند با مقدار مثبت و منفی یعنی با دو مقدار باید بررسی شوند .دلیل این کار در مثال بالا کاملا مشهود و و اضح است چون قدر مطلق اعداد همیشه مثبت است ، دقت کنید که قدر مطلق اعداد با قدر مطلق عبارتها جبری متفاوت است . چرا که اعداد دارای ماهیت مشخصی هستند و براحتی قدر مطلق آنها محاسبه می شود . یعنی قدر مطلق اعداد همیشه باید مثبت باشد اما قدر مطلق عبارتهای جبری به دلیل داشتن مجهول ،ما مجبوریم هر دو مقدار مثبت و منفی را بررسی کنیم .

نکته مهم 2:اگر چه گفتیم عبارت قدر مطلق وقتی قدر مطلق را بر میداریم می تواند برابر مقدار مثبت و منفی شود . اما خود قدر مطلق نمی تواند برابر منفی باشد ، یعنی چی ؟

یعنی قدر مطلق عبارت جبری هرگز نمی تواند برابر یک عدد منفی باشد مثلا معادله زیر

[math]|x-4|=-5[/math]

این عبارت قابل قبول نیست و نادرست است چرا که خود قدر مطلق حتی اگر عبارت جبری باشد باز هم نمی تواند مستقیما برابر یک عدد منفی باشد .

مثال 2:[math]|4x+6|+8=3[/math]

این تساوی فوق فاقد جواب و نادرست است چرا که پس از بردن عدد هشت به طرف دوم تساوی عبارت ما بصورت زیر می شود

[math]|4x+8|=3-8=-5[/math]

چون ما به تساوی رسیدیم که طرف دوم آن قبل از برداشتن قدر مطلق برابر منفی عددی بود ، این تساوی نادرست است و معادله فوق فاقد جواب است .

2-عبارت قدر مطلق برابر با معادله

[math]|p(x)| = q(x) \Rightarrow p(x) = \pm p(x)[/math]

ما حالت قبلی که مورد بحث قرار دادیم ، برای زمانی بود که عبارت قدر مطلق برابر یک عدد بود ، اما ممکن است عبارت قدر مطلق برابر یک معادله باشد ، در این حالت ، شما باز هم باید طرف دوم تساوی را با مقدار مثبت و منفی بررسی کنید اما پس از استخراج مجهولات معادله ، باید مقدار آنها در معادله صدق کند ، بهتره این موضوع را با یک مثال بررسی کنیم .

مثال 3 : مجموعه جواب معادله [math]|3x+2|=4x+5[/math] را بدست آورید:

 

جمع بندی : آنچه در معادله قدر مطلق فهمیدیم ما همیشه پس از بدست آوردن جواب ،باید آن را در معادله تست کنیم ،و باید به تساوی صحیحی برسیم ، اگر جوابی پس از تست در معادله به تناقضی برسیم آن جواب قابل قبول نیست .

3-عبارت قدر مطلق برابر با قدر مطلق معادله دیگری

جوابهای معادله [math]|f(x)|=|g(x)|[/math] همان جوابهای دو معادله [math]f(x)=g(x),f(x)=-g(x)[/math] هستند.

[math]|f(x)| = |g(x)| \Rightarrow f(x) = \pm g(x)[/math]

نکته : علاوه بر روش فوق ، برای حل معادله فوق روش دیگری نیز وجود دارد و آنهم به این صورت است که هر دو طرف معادله را به توان 2 می رسانیم.

مثال 4:معادله [math]|3x-2|=|x-4|[/math] را حل کنید .

روش اول

	حالت اول	حالت دوم
مشابه حالت دوم می باشد	[math] 3x – 2 =  – (x – 4)\\3x – 2 =  – x + 4\\4x = 6\\x = \frac{3}{2} [/math]	[math] 3x – 2 = x – 4\\3x – x = 2 – 4\\2x =  – 2\\x =  – 1 [/math]

 

روش دوم :

در این روش هر دو طرف معادله را به توان 2 می رسانیم

[math]{(|3x – 2|)^2} = {(|x – 4|)^2}\\9{x^2} – 12x + 4 = {x^2} – 8x + 16\\8{x^2} – 4x – 12 = 0\\[/math]

از معادله بدست آمده عدد 4 را فاکتور بگیریم خواهیم داشت .

[math] 4(2{x^2} – x – 3) = 0[/math]

اکنون ریشه های معادله درجه دوم فوق را بدست می آوریم .

[math]\Delta  = {b^2} – 4ac = 1 – 4(2)( – 3) = 1 + 24 = 25\\{x_1} = \frac{{1 + 5}}{4} = \frac{3}{2}\\{x_2} = \frac{{1 – 5}}{4} =  – 1[/math]

4-چندین عبارت دارای قدر مطلق

برای حل معادلات و نامعادلات قدر مطلق بهتر است که ابتدا هر یک از عبارتهای درون قدر مطلق را در جدولی تعیین علامت کنیم و سپس در هر فاصله از جدول معادله و با نامعادله را ساده کرده آن را حل می کنیم و جواب معادله را در بازه های مختلف بدست می آوریم ، فقط دقت کنید که جواب بدست آمده باید حتما در فاصله مورد نظر از جدول قرار بگیرد .و در نهایت از اجتماع تمام جوابها در بازه های مختلف جواب نهایی معادله یا نامعادله بدست می آید .

مثال 1:معادله [math]|x|+|x-1|+|x+2|=7[/math] را حل کنید.

ابتدا جدول تعیین علامت این معادله را بدست می آوریم .

فاصله اول [math] x \le – 2 [/math]

[math]|x| + |x – 1| + |x + 2| = 7 \Rightarrow – x – (x – 1) – (x + 2) = 7 \\- x – x + 1 – x – 2 = 7 \Rightarrow – 3x = 8 \\x = – \frac{8}{3}[/math]

این جواب قابل قبول است چون ریشه بدست آمده کوچکتر از منفی 2 است.

فاصله دوم [math] – 2 < x \le 0 [/math]

[math]|x| + |x – 1| + |x + 2| = 7 \\- x – (x – 1) + (x + 2) = 7 \Rightarrow – x – x + 1 + x + 2 = 7 \\x = – 4[/math]

این جواب قابل قبول نیست چون در بازه مورد نظر نیست .

فاصله سوم [math] 0 < x \le 1 [/math]

[math]|x| + |x – 1| + |x + 2| = 7 \\x – (x – 1) + (x + 2) = 7 \Rightarrow x – x + 1 + x + 2 = 7 \\x = 4[/math]

این جواب قابل قبول نیست چون در بازه مورد نظر ما نیست .

فاصله چهارم [math]x>1[/math]

[math]|x| + |x – 1| + |x + 2| = 7 \\x + (x – 1) + (x + 2) = 7 \Rightarrow x + x – 1 + x + 2 = 7 \\x = 2[/math]

این جواب در شرط فاصله چهارم صدق می کند پ قابل قبول است.

اکنون نتیجه می گیریم که جوابهای [math] x = 2,x = – \frac{8}{3} [/math] قابل قبول هستند و جوابهای نهایی معادله ما هستند.

 

مثال 2 :نامعادله [math]|2x-3|>|x|+1[/math] را حل کنید .

ابتدا جدول تعیین علامت را بدست می آوریم .

فاصله اول [math] x \le 0[/math]

[math]|2x – 3| > |x| + 1 \Rightarrow – (2x – 3) > – x + 1 \Rightarrow – x + 1 \Rightarrow – x + 1 \\x < 2 \\[/math]

فقط قسمتی از جواب x<2 قابل قبول است و آنه هم بازه [math] ( – \infty ,0] [/math] است .یعنی جواب قابل قبول همان

[math] x \le 0[/math]

فاصله دوم [math] 0 < x \le \frac{3}{2} [/math]

[math]|2x – 3| > |x| + 1 \Rightarrow – (2x – 3) > x + 1 \Rightarrow \\x < \frac{2}{3}[/math]

اینجا هم جواب فقط همان بازه صفر تا دو سوم است.

فاصله سوم [math] x > \frac{3}{2} [/math]

[math]|2x – 3| > |x| + 1 \Rightarrow (2x – 3) > x + 1 \Rightarrow \\x > 4[/math]

چون این جواب در بازه تعریف شده پس قابل قبول است.

بنابر این مجموعه جواب ما بصورت اجتماع مجموعه جوابهای قابل قبول است

[math]\{ x|\begin{array}{*{20}{c}}{x > 4} & {OR} & {x < \frac{2}{3}} \\\end{array}\}[/math]

تمرینات و سوالات امتحانی قدر مطلق اینجا را کلیک کنید

 بخش سوم نامعادلات قدر مطلق