گویا کردن مخرج کسرها
گویا کردن مخرج کسرها
ما تا کنون در مورد رادیکالها و قوانین آنها مطالب مختلفی را بیان کردیم ، اما این رادیکالها زمانی که در مخرج یک کسر قرار می گیرند ، آن کسر را باید گویا کنیم به تعبیری دیگر باید رادیکال را از مخرج کسر خارج کنیم .ما همیشه با کسرهایی سرو کار داریک که مخرج آنها نباید رادیکال داشته باشد و اصطلاحا می گوییم اگر در مخرج کسری رادیکال باشد ما باید آن کسر را گویا کنیم برای این کار رئشهلی متعددی وجود دارد . قبل از شروع این مبحث پیشنهاد می کنم حتما مطالب زیر را مطالعه کنید چون در واقع پیش نیاز این مبحث است :
منظور از گویا کردن مخرج یک کسر ،یعنی ضرب عبارتی در صورت و مخرج آن کسر است تا مخرج آن کسر دیگر رادیکالی نباشد.
روشهای گویا کردن مخرج کسرها :
- کسرهای به فرم [math] \frac{1}{{\sqrt a }}[/math] :
برای گویا کردن مخرج کسرهایی به فرم [math] \frac{1}{{\sqrt a }}[/math] باید صورت و مخرج را در[math]\sqrt a [/math]
ضرب کنیم .
مثال :
[math]1)\frac{3}{{\sqrt 2 }}[/math]
در مثال بالا صورت و مخرج را در رادیکال 2 ضرب می کنیم .
[math] \frac{3}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} [/math]
- کسرهای به فرم [math] \frac{1}{{\sqrt[m]{{{a^n}}}}}[/math]
برای گویا کردن مخرج کسرهایی به فرم [math] \frac{1}{{\sqrt[m]{{{a^n}}}}}[/math] باید صورت و مخرج را در
[math]\frac{1}{{\sqrt[m]{{{a^{m – n}}}}}}[/math] ضرب کنیم .
مثال :
[math] 1)\frac{2}{{\sqrt[5]{{{2^2}}}}}[/math]
برای گویا کردن عبارت فوق باید صورت و مخرج را در [math] \sqrt[5]{{{2^3}}}[/math] ضرب کنیم
[math]\frac{2}{{\sqrt[5]{{{2^2}}}}} \times \frac{{\sqrt[5]{{{2^3}}}}}{{\sqrt[5]{{{2^3}}}}} = \frac{{2\sqrt[5]{{{2^3}}}}}{{\sqrt[5]{{{2^3}}} \times \sqrt[5]{{{2^2}}}}} = \frac{{2\sqrt[5]{{{2^3}}}}}{{\sqrt[5]{{{2^3} \times {2^2}}}}} = \frac{{2\sqrt[5]{{{2^3}}}}}{{\sqrt[5]{{{2^5}}}}} = \frac{{2\sqrt[5]{{{2^3}}}}}{2} = \sqrt[5]{{{2^3}}} \\[/math]
- گویا کردن مخرج کسرهایی به فرم [math] \frac{1}{{\sqrt a \pm \sqrt b }}[/math]:
اینجا اهمیت یادگیری اتحادها معلوم میشه ، ما تا اینجا نیازی به اتحاد نداشتیم اما از این به بعد با کمک اتحادها می توانیم مخرج کسرها را گویا کنیم ، در این حالت ما باید مخرج را در مزوجش ضرب کنیم تا رادیکالها ساده شوند .در واقع اینجا به نوعی از اتحاد مزدوج استفاده می کنیم .
مثال :
[math]1)\frac{4}{{\sqrt 5 – \sqrt 3 }}[/math]
در عبارت بالا مزدوج مخرج بصورت [math] \sqrt 5 + \sqrt 3 [/math] می باشد کافیست این عبارت را در صورت و مخرج ضرب کنیم . اول یه نکته یادآوردی می کنم ما می دانیم که اتحاد مزدوج بصورت زیر است :
[math] (a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2}[/math]
پس با توجه با این اتحاد مزدوج داریم:
[math] (\sqrt 5 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 3 ) = {(\sqrt 5 )^2} – {(\sqrt 3 )^2} = 5 – 3 = 2[/math]
و سرانجام کسر بالا بصورت زیر گویا می شود:
[math]\frac{4}{{\sqrt 5 – \sqrt 3 }} \times \frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} = \frac{{4(\sqrt 5 + \sqrt 3 )}}{{(\sqrt 5 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 3 )}} = \frac{{4(\sqrt 5 + \sqrt 3 )}}{2} = 2\sqrt 5 + 2\sqrt 3[/math]
- گویا کردن مخرج کسرهایی که مخرج آنها بصورت [math] \sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b}[/math]
برای این کار باید از اتحادها استفاده کنیم اتحاد مورد نظر ما در اینجا همان اتحاد چاق و لاغر است
[math]{a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} – ab + {b^2}) \\{a^3} – {b^3} = (a – b)({a^2} + ab + {b^2}) \\[/math]
خوب حالا با این مقدمه می توان نتیجه گرفت که در این حالت باید صورت و مخرج را عبارت زیر ضرب کنیم :
[math] \sqrt[3]{{{a^2}}} \pm \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}[/math]
الف) اگر مخرج به فرم [math] \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}[/math] صورت و مخرج را در عبارت
[math] \sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} [/math] ضرب می کنیم
ب) اگر مخرج به فرم [math] \sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b}[/math] صورت و مخرج را در عبارت
[math] \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}[/math] ضرب می کنیم
به عبارتی دیگر داریم که :
[math](\sqrt[3]{a} – \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}) = a – b \\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{{{a^2}}} – \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}}) = a + b[/math]
با یک مثال کاربرد اتحاد بالا را نشان می دهیم:
[math] \frac{1}{{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}}[/math]
در مثال بالا در عبارت [math] \sqrt[3]{{{5^2}}} – \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}[/math] ضرب می کنیم
[math]\frac{1}{{\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2}}} \times \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} – \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{5^2}}} – \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} – \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{{5 + 2}} = \frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} – \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{7} \\[/math]
- بر عکس حالت چهارم اگر مخرج کسر ما بصورت
[math] (\sqrt[3]{{{a^2}}} \pm \sqrt[3]{{ab}} + \sqrt[3]{{{b^2}}})[/math] باشد صورت و مخرج را در
[math] (\sqrt[3]{a} \pm \sqrt[3]{b})[/math] ضرب می کنیم
مثال :
[math]\frac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}}[/math]
در مثال بالا ابتدا مخرج کسر را بررسی می کنیم و داریم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{{{3^2}}} \\\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{3 \times 2}} \\\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{{{2^2}}} \\\end{array} \right\} \to \frac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \times 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}} \\[/math]
حالا کافیه که صورت و مخرج کسر را در [math] \sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}[/math] پس داریم:
[math]\frac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \times 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}} \times \frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{3 – 2}} = \sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}[/math]
کسرهای زیر را گویا کنید
[math]1)\frac{5}{{\sqrt[7]{{{2^3}}}}}[/math]
[math]2)\frac{3}{{\sqrt {\frac{5}{2}} }}[/math]
[math] 3)\frac{1}{{5\sqrt 3 – 3\sqrt 2 }}[/math]
[math]4)\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}[/math]
[math]5)\frac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}}[/math]
[math]6)\frac{1}{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{4}}}[/math]