چند تمرین حل شده از تابع پوشا
1-آیا تابع زیر با ضابطه [math] f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}}[/math] در [math]R[/math] پوشا است ؟
جواب :
چون تابع روی مجموعه [math]R[/math] تعریف شده پس باید برد آن نیز مجموعه [math]R[/math] باشد .اما اگر دقت کنیم برد این تابع بصورت زر بدست می آید.
[math]f(x) = \sqrt[3]{{{x^2}}} \to y = \sqrt[3]{{{x^2}}} \to {y^3} = {x^2} \to \sqrt[2]{{{y^3}}} = x \\[/math]
از ضابطه بدست آمده بالا می فهمیم که برد این تابع بصورت بازه [math] [0, + \infty )[/math] و برابر مجموعه [math]R[/math] نمی باشد پس تابع پوشا نیست.
2-آیا تابع با ضابطه [math]f(x)=x-[x] [/math] روی مجموعه [math]R[/math] پوشا است ؟
جواب :
از خواص تابع جزء صحیح می دانیم که به ازای تمام x های متعلق به مجموعه اعداد حقیقی داریم که :
[math] 0 \le x – [x] < 1[/math]
پس نتیجه می گیریم که برد تابع ما بازه [math][0,1)[/math] است و برابر مجموعه [math]R[/math] نمی باشد پس تابع پوشا نیست.
3-پوشا بودن تابع زیر با ضابطه داده شده را بررسی کنید .
[math]\left\{ \begin{array}{l} f:(2, + \infty ) \to R \\ f(x) = \log _3^{(x – 2)} \\ \end{array} \right\} \\[/math]
جواب : ابتدا سعی می کنیم تابع را بصورت زیر بنویسیم تا بتوانیم برد تابع را بدست آوریم پس داریم که :
[math] y = \log _3^{(x – 2)} \to {3^y} = x – 2 \to x = {3^y} + 2 [/math]
از ضابطه بالا کاملا مشخص است که برد تابع یعنی مقادیر قابل قبول برای متغیر [math]y[/math] همان مجموعه [math]R[/math] می باشد پس چون برد تابع با مجموعه پایان تعریف تابع یکی شد ، تابع پوشا است.
4-تابع با ضابطه زیر را از نظر پوشا بودن بررسی کنید.
[math]\left\{ \begin{array}{l} f:R \to z – \{ 0\} \\ f(x) = \frac{1}{{[x – 1]}} \\ \end{array} \right\} \\[/math]
جواب :
ابتدا ضابطه تابع را بصورت زیر می نویسیم چون می خواهیم برد تابع را محاسبه کنیم
[math] f(x) = \frac{1}{{[x – 1]}} = \frac{1}{{[x] – 1}} = y \to y[x] – y = 1 \to [x] = \frac{{y + 1}}{y} [/math]
از ضابطه تابع می دانیم که [math]y \ne 0[/math]پس داریم که :
[math]\left\{ \begin{array}{l} [x] = 1 + \frac{1}{y} \\ \frac{1}{y} \in Z \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} y = 1 \\ y \notin z,y = \frac{1}{t} \\ \end{array} \right\} \\[/math]
مقادیر قابل قبول برای متغیر [math]y[/math] برابر مجموعه پایان نیست پس تابع پوشا نیست.
5-تابع با ضابطه زیر پوشا است ؟
[math]\left\{ \begin{array}{l} f:[0,\Pi ] \to [ – 1,1] \\ f(x) = {\cos ^4}\frac{x}{2} – {\sin ^4}\frac{x}{2} \\ \end{array} \right\} \\[/math]
جواب :
قبل از حل مساله یک فرمول را یاداوری می کنیم :
[math]\left[ \begin{array}{l} \cos 2x = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x \\ \cos x = {\cos ^2}\frac{x}{2} – {\sin ^2}\frac{x}{2} \\ \end{array} \right] \\[/math]
پس داریم که :
[math] f(x) = {\cos ^4}\frac{x}{2} – {\sin ^4}\frac{x}{2} = ({\cos ^2}\frac{x}{2} – {\sin ^2}\frac{x}{2})({\cos ^2}\frac{x}{2} + {\sin ^2}\frac{x}{2}) = ({\cos ^2}\frac{x}{2} – {\sin ^2}\frac{x}{2}) = \cos x \\[/math]
و می دانیم که
[math]- 1 \le \cos x \le 1 \to – 1 \le f(x) \le 1[/math]
چون حدود تغییرات تابع با برد ضابطه داده شده یکی است پس تابع پوشا است.
tnx
ممنون از زحماتتون
خیلی یک سایت آموزنده و عالی است