تست های کنکور سراسری بخش تابع به همراه پاسخ تشریحی
تست های کنکور سراسری بخش تابع
1-اگر [math] f(x) = 1 + \sqrt x ,g(x) = {x^2}[/math] و [math]x>0[/math] آنگاه ضابطه
[math] {g^{ – 1}}o{f^{ – 1}}[/math] کدام است ؟(کنکور سراسری 81)
1)[math]x-1[/math]
2)[math]x+1[/math]
3)[math] {x^2} – 1[/math]
4)[math] {x^2} +1[/math]
جواب :
[math]f(x) = 1 + \sqrt x \to {f^{ – 1}}(x) = 1 + \sqrt y \to y = {(x – 1)^2} = {f^{ – 1}}(x) \\g(x) = {x^2} \to x = {y^2} \to y = \sqrt x \to {g^{ – 1}}(x) = \sqrt x \\ {g^{ – 1}}o{f^{ – 1}} = \sqrt {{{(x – 1)}^2} = } x – 1[/math]
پاسخ گزینه 1 صحیح است
2-اگر تابع با ضابطه [math] f(x) = {x^2} + (A – 1)x[/math] زوج و تابع با ضابطه [math] g(x) = (B + 2){x^2} + Sinx[/math] فرد باشد آنگاه [math]A+B[/math] کدام است ؟
1)-2 2)-1 3)1 4)2
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} f(x) = {x^2} + (A – 1)x \\ f( – x) = {x^2} – (A – 1)x \\ \end{array} \right\} \to {x^2} + (A – 1)x = {x^2} – (A – 1)x \to (A – 1)x + (A – 1)x = 0 \to \\ A – 1 = 0 \to A = 1 \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = (B + 2){x^2} + Sinx \\ g( – x) = (B + 2){x^2} – Sinx \\ \end{array} \right\} \to g( – x) = – g(x) \to (B + 2){x^2} – Sinx = – (B + 2){x^2} – Sinx \to \\ (B + 2){x^2} + (B + 2){x^2} = 0 \to B + 2 = 0 \to B = – 2 \\ A + B = 1 – 2 = – 1 \\[/math]
بنابر این گزینه 2 صحیح است .
3-اگر توابع [math]f+g[/math] و [math]f-g[/math] فرد باشند و به ازای هر [math]x[/math] و
[math] f(x) \ne 0,g(x) \ne 0[/math] آنگاه [math]g,f[/math] چگونه اند؟
1)f,g هر دو زوجند 2)f زوج و g فرد 3) f فرد و g زوج 4)f,g هر دو فردند
جواب :
[math]f+g[/math] فرد هستند پس داریم :
[math] f + g \to (f + g)(x) = – (f + g)( – x) = – f( – x) – g( – x)[/math]
[math]f-g[/math] فرد هستند پس داریم :
[math] f – g \to (f – g)(x) = – (f – g)( – x) = – f( – x) + g( – x)[/math]
اکنون دو رابطه فوق را با هم جمع می کنیم :
[math] 2f(x) = – 2f( – x) \to f(x) = – f( – x)[/math]
پس تابع f فرد است
[math] 2g(x) = – 2g( – x) \to g(x) = – g( – x)[/math]
پس تابع g فرد است
بنابر این گزینه 4 صحیح است .
4-تابع [math]f[/math] روی زیر مجموعه اعدا حقیقی بوسیله [math] f(x) = 3{\sin ^2}\pi x + 2x – [2x][/math] تعریف شده است .کوچکترین دوره تناوب این تابع کدام یک از اعداد زیر می باشد ؟
1)1 2)2 3)[math]\pi[/math] 4)[math]2\pi[/math]
جواب :
کوچکترین دوره تناوب [math]2x-[2x][/math] برابر است با [math] T{}_1 = \frac{1}{2} [/math] می باشد.کوچکترین دوره تناوب [math]f(x) = 3{\sin ^2}\pi x[/math]برابر با [math] [{T_2} = \frac{\pi }{\pi } = 1 [/math] می باشد. کوچکترین دوره تناوب تابع برابر با ک. م.م هر دو دوره بدست آمده است
[math] T = [\frac{1}{2},1] = 1 [/math]
پس گزینه 1 صحیح است .
5-در صورتی که [math]R[/math] مجموعه اعداد حقیقی بوده [math] f:R \to R [/math] با ضابطه
[math] f(x) = {x^2} + 4 [/math] باشد ، وضعیت یک به یک و پوششی تابع چگونه است ؟
1)f پوششی ولی یک به یک نیست 2)f نه یک به یک و نه پوششی
2)f یک به یک ولی پوششی نیست 4)f یک به یک و پوششی
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} f(x) = {x^2} + 4 \\ f( – x) = ( – {x^2}) + 4 = {x^2} + 4 \\ \end{array} \right\} \to f(x) = f( – x)[/math]
تابع ما زوج است پس تابع یک به یک نیست .
نکته مهم (تابع اگر زوج باشد آنگاه تابع یک به یک نیست)
[math] y = {x^2} + 4 \to y + 4 = {x^2} \to x = \sqrt {y + 4} [/math]
پس برد [math]f[/math] محدوده [math] [4, + \infty ) [/math] و تمام مجموعه [math]R[/math] را پوشش نمی دهد پس تابع پوشا نیست .
بنابر این گزینه 2 صحیح است .
6-تابع معکوس [math] y = \sqrt {1 – x} [/math] کدام است ؟
1)[math] x > 0,y = 1 – {x^2} [/math] 2)[math] y = \frac{1}{{\sqrt {1 – x} }} [/math]
3)[math] y = \sqrt {1 + x} [/math] 4)[math] y = 1 + {x^2} [/math]
جواب :
برای بدست آوردن معکوس تابع بايد متغير x را بر حسب متغیر y محاسبه کنیم :
[math]y = \sqrt {1 – x} \to {y^2} = 1 – x \to x = 1 – {y^2} \\ {f^{ – 1}}(x) = 1 – {x^2} \\[/math]
پس گزینه 1 صحیح است .
7-برد تابع [math] f(x) = \frac{{|x|}}{{|x| + 1}},x \in R [/math] کدام است ؟
1)[math] ] – \infty ,1[ [/math] 2)[math] ] – \infty ,1] [/math]
3)[math][0,1][/math] 4)[math][0,1[[/math]
جواب :
[math]y = \frac{{|x|}}{{|x| + 1}} \to y(|x| + 1) = |x| \to y|x| + y = |x| \to y|x| – |x| = – y \\ |x|(y – 1) = – y \to |x| = \frac{{ – y}}{{y – 1}} \to |x| = \frac{y}{{1 – y}} \\ |x| \ge 0 \to \frac{y}{{1 – y}} \ge 0 \to 0 \le y < 1 \to {R_f} = [0,1) \\[/math]
8-برد تابع [math] y = \sqrt {x – |x|} [/math] کدام است ؟
1)[math] \phi [/math] 2 )[math] \{ y|y \ge 0\} [/math]
3)[math]{y|y<0}[/math] 4)[math]{0}[/math]
جواب :
ابتدا زیر رادیکال را بررسی می کنیم چون قدر مطلق دارد پس آن را در دوبازه بررسی می کنیم
حالت اول:
[math]x < 0 \to |x| = – x \to x – |x| = x – ( – x) = 2x < 0[/math]
در این حالت y تعریف شده نیست
حالت دوم :
[math]x \ge 0 \to |x| = x \to x – |x| = x – x = 0 \to y = 0[/math]
از جمع بندی دو حالت فوق می توان نتیجه گرفت که دامنه تابع اعداد حقیقی نامنفی هستند و مقدار آن همواره برابر صفر است ، بنابر این برد تابع برابر با {0} است و جواب صحیح گزینه 4 است .
9-دوره تناوب [math] y = Sin\frac{x}{2} + Cos3x [/math] کدام است ؟
1)[math]\pi[/math] 2)[math]2\pi[/math] 3)[math]3\pi[/math] 4)[math]4\pi[/math]
جواب :
این تابع برابر با جمع دو تابع است پس باید دوره تناوب هر کدام را بدست آوریم:
[math]Sin\frac{x}{2} \to {T_1} = \frac{{2\pi }}{{\frac{1}{2}}} = 4\pi \\ Cos3x \to {T_2} = \frac{{2\pi }}{3} \\[/math]
اکنون کوچکترین مضرب مشترک هر دو دوره تناوبی بدست آمده را بدست می آوریم.ابتدا هر دوتا را متحد المخرج می کنیم تا محاسبه براحتی امکان پذیر باشد:
[math]\left\{ \begin{array}{l} {T_1} = 4\pi \\ {T_2} = \frac{{2\pi }}{3} \\ \end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l} {T_1} = \frac{{12\pi }}{3} \\ {T_2} = \frac{{2\pi }}{3} \\ \end{array} \right\} \to T = \frac{{12\pi }}{3} = 4\pi[/math]
بنابر این گزینه 4 صحیح است .
10-تابع با ضابطه [math]f(x)=|x-2|[/math] مساوی کدام یک از توابع است ؟
1)[math] |\frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}|[/math]
2)[math] |\frac{{{x^2} – 4}}{{x + 2}}|[/math]
3)[math] \frac{{{{(x – 2)}^2}}}{{|x – 2|}}[/math]
4)[math] \frac{{|6x – 12|}}{6}[/math]
جواب :
شرط تساوی دو تابع اولا باید دامنه دو تابع برابر باشند خوب پس اینجا تابع داده شده در سوال دامنه آن مجموعه [math]R[/math] است حالا باید ببینیم کدام یک از گزینه ها نیز دامنه آن همان است ، با یک نگاه کلی می توان براحتی جواب را حدس زد گزینه 4
[math] \frac{{|6x – 12|}}{6} = 6\frac{{|x – 2|}}{6} = |x – 2| = f(x)[/math]
11-دوره تناوب تابع [math] f(x) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx[/math] کدام است ؟
1)[math]\pi[/math] 2)[math]2\pi[/math] 3)[math]3[/math] 4)[math]4[/math]
جواب:
برای اینکه T دوره تناوب تابع باشد باید متعلق به دامنه تابع باشد و همچنین x+T نیز باید متعلق به دامنه تابع باشد :
[math]x \in {D_f},x + T \in {D_f} \to f(x) = f(x + T) \\ {( – 1)^{[\frac{{x + T}}{\pi }]}}Cos(x + T) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx \to \\ {( – 1)^{[\frac{x}{\pi } + \frac{T}{\pi }]}}Cos(x + T) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx \\[/math]
حالا نكته مهم اينجاست كه ما چون در فرمول بالا جزء صحیح داریم و می دانیم که خروجی جزء صحیح یک عدد صحیح است ما باید گزینه را پیدا کنیم که [math] \frac{T}{\pi }[/math] یک عدد صحیح باشد مشخص است که جواب گزینه 1 است چون هر کدام از گزینه های دیگر را که انتخاب کنیم حاصل [math] \frac{T}{\pi }[/math] عددی صحیح نخواهد بود پس
[math]T = \pi \to \frac{T}{\pi } = 1[/math]
[math]{( – 1)^{[\frac{x}{\pi } + \frac{\pi }{\pi }]}}Cos(x + \pi ) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx \to {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}{( – 1)^1}( – Cosx) = {( – 1)^{[\frac{x}{\pi }]}}Cosx[/math]
12-برد تابع با ضابطه زیر کدام است ؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{x}{{[x]}}} & {x < 0} \\ 0 & {x \ge 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)[math] ] – \infty ,0][/math] 2) [math][0,1][/math] 3)[math][0,1[[/math] 4)[math] ]0, \infty][/math]
جواب :
از خواص جزء صحیح می دانیم که [math] [x] \le x[/math] و چون [math]x<0[/math] است ، طرفین را بر[math][x][/math] تقسیم می کنیم و چون x کوچکتر از صفر هست پس وقتی طرفین را بر [x] تقسیم می کنیم به دلیل علامت منفی جهت نامساوی عوض می شود:
[math]\left\{ \begin{array}{l} \frac{{[x]}}{{[x]}} \ge \frac{x}{{[x]}} \\ x < 0 \\ \end{array} \right\} \to 1 \ge \frac{x}{{[x]}} > 0 \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0 < f(x) \le 1} & {x < 0} \\ {f(x) = 0} & {x \ge 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
پس برد تابع فاصله [0,1] می باشد و جواب گزینه 2 است.
13-اگر [math] f(x) = {x^2},0 \le x \le 1[/math] و [math]g(x) = {x^2} + 1,0 \le x \le 2[/math] در این صورت دامنه [math]fog[/math] کدام است ؟
1)[math]{0}[/math](4 [math]{1}[/math](3 [math][0,2][/math] (2 [math]]0,2][/math]
جواب :
می دانیم که :
[math]{D_{fog}} = \{ x \in {D_g}|g(x) \in {D_f}\} \\ \left\{ \begin{array}{l} {D_f} = \{ x|0 \le x \le 1\} \\ {D_g} = \{ x|0 \le x \le 2\} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow {D_{fog}} = \{ x|0 \le x \le 2,0 \le {x^2} + 1 \le 1\} = \{ 0\} \\[/math]
گزینه 1 صحیح است .
14-یک دوره تناوب [math] f(x) = Si{n^2}\frac{\pi }{3}x + Sin\pi x[/math] کدام است ؟
1)2 1)3 3)4 4)6
جواب :
ابتدا دوره تناوب توابع زیر را در نظر می گیریم :
[math]Cosax,Sinax \to T = \frac{{2\pi }}{{|a|}}[/math]
همچنین دوره تناوب توابع زیر نیز داریم :
[math]Co{s^2}ax,Si{n^2}ax \to T = \frac{\pi }{{|a|}}[/math]
اکنون بر اساس دو حالت بالا داریم که :
[math]f(x) = Si{n^2}\frac{\pi }{3}x + Sin\pi x \to \\ {T_1} = \frac{\pi }{{\frac{\pi }{3}}} = 3 \\ {T_2} = \frac{{2\pi }}{\pi } = 2 \\[/math]
کوچکترین مضرب مشترک بین دو نتیجه حاصل عدد 6 است پس جواب گزینه 4 است.
15-فرض کنید [math] f(g(x)) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 4 [/math] و [math] g(x) = x – \frac{1}{x} [/math] باشند ، در این صورت f(x) کدام است ؟
1)[math] {x^2} – 4[/math] 2)[math] {x^2} – 2[/math]
3)[math] {x^2} [/math] 4)[math] {x^2} + 2[/math]
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} f(g(x)) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 4 = ({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} – 2) – 2 = {(x – \frac{1}{x})^2} – 2 \\ g(x) = x – \frac{1}{x} \\ \end{array} \right\} \to \\ f(g(x)) = {(g(x))^2} – 2 \to f(x) = {x^2} – 2 \\[/math]
گزینه 2 صحیح است .
16-دامنه تابع [math] f = \left\{ {(x,y):y = \sqrt {\frac{{1 – |x|}}{{1 + |x|}}} } \right\}[/math] کدام است ؟
1)R 2)[math] x \le 1[/math] 3) )[math] x \ge 1[/math] 4) [math] – 1 \le x \le 1[/math]
جواب :
چون تابع ما رادیکالی است پس زیر رادیکال باید بزرگتر و یا مساوی صفر باشد :
[math]\frac{{1 – |x|}}{{1 + |x|}} \ge 0[/math]
مخرج مشخص است که بزرگتر از صفر است و هیچ گاه برابر صفر نمی شود ،پس صورت کسر باید نامنفی باشد داریم :
[math] 1 – |x| \ge 0 \to |x| \le 1 \to – 1 \le x \le 1[/math]
پس گزینه 4 صحیح است.
17-فرض کنید [math] f(z) = \frac{{z + 1}}{{z – 1}},z \ne 1[/math] اگر(y=f(x آنگاه x بر حسب y عبارت است ؟
-f(y)(1 2)f(y) 3)f(-y) 4)-f(-y
جواب :
طبق تعریف تابع داریم که :
[math] y = f(x) = \frac{{x + 1}}{{x – 1}}[/math]
حالا سعی می کنیم x را بر حسب y بدست آوریم :
[math]xy – y = x + 1 \to x(y – 1) = y + 1 \to x = \frac{{y + 1}}{{y – 1}}[/math]
پس گزینه 2 صحیح است .
18-اگر [math]f(x)=2x+3[/math] و [math]g(x)=x-4[/math] باشد مقدار [math] \frac{{fog(2)}}{{gof( – 1)}}[/math] چقدر است ؟
1)[math] – \frac{7}{3}[/math] 2)[math] – \frac{3}{7}[/math]
3)[math] – \frac{1}{3}[/math] 4)[math] 3[/math]
جواب :
[math]fog = f(g(x)) \\ \left\{ \begin{array}{l} fog(2) = f(g(2)) = f(2 – 4) = f( – 2) = – 1 \\ gof( – 1) = g(f( – 1)) = g( – 2 + 3) = g(1) = – 3 \\ \end{array} \right\} \to \frac{{fog}}{{gof}} = \frac{{ – 1}}{{ – 3}} = \frac{1}{3} \\[/math]
19-اگر [math]f(x+y,x-y)=2(xy+y^2)[/math] انگاه [math]f(2,1)[/math] کدام است ؟
1)-2 2)-4 3)2 4)4
جواب:
مقادیر زیر را جانشانی می کنیم و یک دستگاه بدست می آید حال این دستگاه را حل می کنیم تا x,y معلوم شوند:
[math]\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2 \\ x – y = 1 \\ \end{array} \right\} \to y = \frac{1}{2},x = \frac{3}{2} \\[/math]
اکنون مقدار تابع را به ازای مقادیر بدست آمده حساب می کنیم :
[math] f(2,1) = 2(\frac{3}{2}*\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})^2}) \to f(2,1) = 2(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = 2[/math]
گزینه 3 صحیح است.
20-اگر مبدا مختصات مرکز تقارن تابع f با ضابطه [math] f(x) = Log(ax + \sqrt {9{x^2} + 1} )[/math] باشد آنگاه a کدام است ؟
1)1 2)-3,1 3)3,-3 4)3و1
جواب :
اگر مبدا مختصات مرکز تقارن تابعی باشد یعنی آن تابع فرد است .پس داریم :
[math]f( – x) = – f(x) \to f(x) + f( – x) = 0 \\ Log(ax + \sqrt {9{x^2} + 1} ) + Log( – ax + \sqrt {9{x^2} + 1} ) = 0 \\ Log((ax + \sqrt {9{x^2} + 1} )( – ax + \sqrt {9{x^2} + 1} )) = Log(9{x^2} + 1 – {a^2}{x^2}) = 0 \\ (9 – {a^{2)}}{x^2} + 1 = 1 \to (9 – {a^2}){x^2} = 0 \to 9 – {a^2} = 0 \to a = \pm 3 \\[/math]
جواب گزینه 3