معادلات شامل عبارت های گنگ
معادلات شامل عبارت های گنگ
معادله هایی را که در آنها عبارتهای گنگ وجود داشته باشد ،معادله های گنگ می نامیم.به تعبیری دیگر اگر در معادله ای دست کم یک رادیکال شامل مجهول وجود داشته باشد آن معادله را گنگ می نامیم.
مثلا عبارتهای زیر معادلات گنگ هستند
[math]x + \sqrt {x – 1} = 2\\\sqrt {2x} + 1 = {x^2}[/math]
اما چند نکته هست که باید به آن دقت کنید .
1-در صورتی که فرجه زوج باشد ،عبارت زیر رادیکال نباید منفی باشد.
[math]\sqrt[{2k}]{A} \Rightarrow A \ge 0[/math]
2-باید دامنه جواب معادله را به دست آوریم .چون اگر در معادله رادیکالی ،چند رادیکال داشته باشیم که اشتراک دامنه آنها تهی باشد آنگاه معادله جواب ندارد.
با این مقدمه می رسیم به حل معادلات
الف)حل معادلات گنگ (رادیکالی ) که شامل یک رادیکال باشد.
مرحله اول :دامنه معادله را بدست می آوریم
مرحله دوم : برای حل این معادلات ،رادیکال را در یک طرف معادله قرار می دهیم و معادله به صورت کلی
[math] A = \sqrt B [/math]
خواهد بود (دقت کنید که A,B عبارتهای جبری هستند).
مرحله سوم :اکنون برای حذف رادیکال ،باید طرفین را به توان فرجه رادیکال برسانیم و معادله را حل کنیم.
مرحله چهارم :پس از بدست آوردن جواب ،آنها را در معادله اصلی امتحان می کنیم ،زیرا این جوابها باید سه شرط زیر را برقرار کنند :
*-زیر رادیکال را منفی نکنند
*-تساوی را برقرار کنند
*-جواب باید در دامنه معادله باشد
مثال 1:معادلات زیر را حل کنید .
[math] 1)\sqrt x – x = – 20 [/math]
مرحله اول تعیین دامنه
[math] x \ge 0 \Rightarrow D = [0, + \infty ) [/math]
مرحله دوم و سوم حل معادله
[math] \sqrt x = x – 20 \Rightarrow {(\sqrt x )^2} = {(x – 20)^2} \Rightarrow x = {x^2} – 40x + 400\\\\{x^2} – 41x + 400 = 0[/math]
معادله بدست آمده یک معادله درجه دوم است که ریشه های ان بصورت زیر است .
[math]\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 41)^2} – 4(1)(400) = 1681 – 1600 = 81\\\sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9\\{x_1} = \frac{{41 + 9}}{2} = 25\\{x_2} = \frac{{41 – 9}}{2} = 16[/math]
اگر دقت کنید هر دو مقدار بدست امده برای x در دامنه معادله قرار دارد .
مرحله چهارم مقادیر را در معادله قرار می دهیم
[math] x = 25 \Rightarrow \sqrt {25} – 25 = – 20 \Rightarrow 5 – 25 = – 20 \Rightarrow – 20 = – 20[/math]
مقدار 25 وقتی در معادله قرار دادیم تساوی را برقرار کرد پس قابل قبول است
[math] x = 16 \Rightarrow \sqrt {16} – 16 = – 20 \Rightarrow 4 – 16 = – 20 \Rightarrow – 12 = – 20[/math]
مقدار 16 وقتی در معادله قرار دادیم تساوی را برقرار نکرد پس غیر قابل قبول است
پس چون 25 هم در دامنه معادله و هم در معادله صدق کرد ،پس x=25 ریشه معادله است ، اما x=16 اگر چه در دامنه معادله بود ولی چون در معادله صدق نکرد ،پس این ریشه غیر قابل قبول است .
[math] 2)2x = 1 – \sqrt {2 – x} [/math]
مرحله اول تعیین دامنه
[math] 2 – x \ge 0 \Rightarrow – x \ge – 2 \Rightarrow x \le 2 \Rightarrow D = ( – \infty ,2] [/math]
مرحله دوم و سوم حل معادله
[math]2x – 1 = \sqrt {2 – x} \Rightarrow {(2x – 1)^2} = {(\sqrt {2 – x} )^2}\\\\4{x^2} – 4x + 1 = 2 – x \Rightarrow 4{x^2} – 3x – 1 = 0\\\\\Delta = {b^2} – 4ac = {( – 3)^2} – 4(4)( – 1) = 9 + 16 = 25\\\sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5\\{x_1} = \frac{{3 + 5}}{8} = 1\\{x_2} = \frac{{3 – 5}}{8} = – \frac{1}{4}[/math]
مرحله چهارم مقادیر را در معادله قرار می دهیم
[math]2x = 1 – \sqrt {2 – x} \\{x_1} = 1 \Rightarrow 2 = 1 – \sqrt {2 – 1} \Rightarrow 2 = 1 – 1 \Rightarrow 2 = 0[/math]
پس مقدار x=1 غیر قابل قبول است .
[math]2x = 1 – \sqrt {2 – x} \\{x_2} = – \frac{1}{4} \Rightarrow 2 \times – \frac{1}{4} = 1 – \sqrt {2 – ( – \frac{1}{4})} \Rightarrow – \frac{1}{2} = 1 – \sqrt {2 + \frac{1}{4}} \Rightarrow \\\\ – \frac{1}{2} = 1 – \sqrt {\frac{9}{4}} \Rightarrow – \frac{1}{2} = 1 – \frac{3}{2} \Rightarrow – \frac{1}{2} = – \frac{1}{2}[/math]
با توجه به اینکه معادله به ازای [math] – \frac{1}{4} [/math] تساوی برقرار شد پس این مقدار ریشه قابل قبول است .
ب)حل معادلات گنگ (رادیکالی ) که شامل بیش از یک رادیکال باشد.
در این گونه معادلات ابتدا با توان رساندن دو طرف معادله باید تعداد رادیکالها را کاهش دهیم تا به یک معادله ساده برسیم و آن را حل کنیم. مشابه حالت بالا
مرحله اول :تعیین دامنه
مرحله دوم: به توان رساندن رادیکالها برای رسیدن ب معادله ساده شده
مرحله سوم : جوابهای بدست آمده باید
*-زیر رادیکال را منفی نکنند
*-تساوی را برقرار کنند
*-جواب باید در دامنه معادله باشد
برای راحتی کار چند مدل را بررسی می کنیم :
مثال 2: معادلات زیر را حل کنید .
[math] 1)\sqrt {2x + 3} – \sqrt {x – 3} = 0 [/math]
مرحله اول :تعیین دامنه
[math]\left\{ \begin{array}{l}2x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge – \frac{3}{2}\\x – 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\end{array} \right\} \to (x \ge – \frac{3}{2}) \cap (x \ge 3) \Rightarrow D = [3, + \infty )[/math]
مرحله دوم: به توان رساندن رادیکالها برای رسیدن ب معادله ساده شده
[math]\sqrt {2x + 3} – \sqrt {x – 3} = 0 \Rightarrow {(\sqrt {2x + 3} )^2} = {(\sqrt {x – 3} )^2} \Rightarrow \\2x + 3 = x – 3 \Rightarrow x = – 6[/math]
مرحله سوم : جوابهای بدست آمده باید در معادله و دامنه چک شوند
مشخص است که عدد منفی شش بدست آمده در دامنه معادله نیست پس غیر قابل قبول است .
[math] 2)\sqrt {5x + 1} = \sqrt {2x + 1} + 2 [/math]
مرحله اول :تعیین دامنه
[math]\left\{ \begin{array}{l}5x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge – \frac{1}{5}\\2x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge – \frac{1}{2}\end{array} \right\} \to (x \ge – \frac{1}{5}) \cap (x \ge – \frac{1}{2}) \Rightarrow D = [ – \frac{1}{5}, + \infty )[/math]
مرحله دوم: به توان رساندن رادیکالها برای رسیدن ب معادله ساده شده
[math]\sqrt {5x + 1} = \sqrt {2x + 1} + 2 \Rightarrow {(\sqrt {5x + 1} )^2} = {(\sqrt {2x + 1} + 2)^2}\\5x + 1 = 2x + 1 + 4\sqrt {2x + 1} + 4\\3x – 4 = 4\sqrt {2x + 1}[/math]
مجددا معادله فوق را به توان 2 می رسانیم
[math]{(3x – 4)^2} = {(4\sqrt {2x + 1} )^2} \Rightarrow 9{x^2} – 24x + 16 = 32x + 16\\9{x^2} – 56x = 0 \Rightarrow x(9x – 56) = 0\\{x_1} = 0\\{x_2} = \frac{{56}}{9}[/math]
مرحله سوم : جوابهای بدست آمده باید در معادله و دامنه چک شوند
[math]\sqrt {5x + 1} = \sqrt {2x + 1} + 2\\{x_1} = 0 \Rightarrow \sqrt {0 + 1} = \sqrt {0 + 1} + 2 \Rightarrow 1 = 1 + 1 \Rightarrow 1 = 2\\{x_2} = \frac{{56}}{9}[/math]
مشخصه که صفر را وقتی در معادله قرار می دهیم صدق نمی کند ولی ریشه دومی در معادله صدق ی کند پس قابل قبول است .
[math] 3)3 – \sqrt x = \sqrt {2\sqrt x – 3}[/math]
مرحله اول :تعیین دامنه
[math] D = x \ge 0[/math]
مرحله دوم: به توان رساندن رادیکالها برای رسیدن به معادله ساده شده
[math]{(3 – \sqrt x )^2} = {(\sqrt {2\sqrt x – 3} )^2} \Rightarrow 9 – 6\sqrt x + x = 2\sqrt x – 3\\x + 12 = 8\sqrt x \Rightarrow {(x + 12)^2} = {(8\sqrt x )^2}\\{x^2} + 24x + 144 = 64x \Rightarrow {x^2} – 40x + 144 = 0[/math]
ریشه های معادله درجه دوم بالا را بدست می آوریم
[math]{x_1} = 36\\{x_2} = 4[/math]
ریشه 36 قابل قبول نیست چون در معادله صدق نمی کند اما مقدار 4 قابل قبول است .
[math]3 – \sqrt x = \sqrt {2\sqrt x – 3} \\{x_1} = 36 \Rightarrow 3 – \sqrt {36} = \sqrt {2\sqrt {36} – 3} \Rightarrow 3 – 6 = \sqrt {12 – 3} \Rightarrow – 3 \ne 3\\{x_2} = 4 \Rightarrow 3 – \sqrt 4 = \sqrt {2\sqrt 4 – 3} \Rightarrow 3 – 2 = \sqrt {4 – 3} \Rightarrow 1 = 1[/math]