معادلات شامل عبارات گویا
معادلات شامل عبارات گویا
معادله هایی که در آن عبارتهای گویا وجود داشته باشند،معادله گویا می نامیم .برای حل این معادلات مراحل زیر را انجام می دهیم :
1-در معادلات گویا بصورت [math] \frac{A}{B} = \frac{C}{D} [/math] که (A,B,C,D) چند جمله ای بر حسب x هستند .بهتر است معادله را طرفین وسطین کنیم و سپس آن را ساده و حل کنیم .
[math] \frac{A}{B} = \frac{C}{D} \Rightarrow A \times D = B \times C[/math]
فقط دقت کنید که جوابهای بدست آمده نباید مخرج کسرها را صفر کند .
مثال 1:معادلات زیر را حل کنید .
[math]\frac{{x – 2}}{{x – 4}} = \frac{{x + 1}}{{x + 3}} \Rightarrow (x – 2) \times (x + 3) = (x + 1) \times (x – 4)\\\\{x^2} + x – 6 = {x^2} – 3x – 4 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}[/math]
در مثال بالا مشخص است که جواب بدست آمده مخرج را صفر نمی کند پس قابل قبول است .
[math]\frac{3}{{2x + 1}} = \frac{2}{x} \Rightarrow (3) \times (x) = (2x + 1) \times (2)\\\\3x = 4x + 2 \Rightarrow 3x – 4x = 2 \Rightarrow x = – 2[/math]
در مثال بالا مشخص است که جواب بدست آمده مخرج را صفر نمی کند پس قابل قبول است .
تا اینجا مثالهایی که زدیم ساده بود و روش حل کردن آنها نیز فراگرفتیم .اما می خواهیم یک روش کلی برای تمام حالتهای در نظر بگیریم .
2-در معادلاتی که به صورت [math] \frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{K}{N} [/math] باشد و شاید هم بیشتر دارای عبارت گویا باشد . اما بطور کلی در صورتی که تمام صورت و مخرج کسرهای چند جمله ای باشد بهتر است
مرحله اول:ابتدا همه عبارتهای جبری را به یک طرف معادله انتقال می دهیم.
مرحله دوم: بین مخرجها ابتدا کوچکترین مضرب مشترک را بدست آوریم(ک.م.م) و این عبارت را به عنوان مخرج مشترک در نظر بگیریم سپس تمام کسرها را در مخرج مشترک ضرب می کنیم با این کار مخرج کسرها از بین می رود ،عبارت را ساده می کنیم و جواب را بدست می آوریم در واقع معادله به فرم [math] \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = 0 [/math] تبدیل می شود در این حالت کسر برابر با صفر است هر گاه صورت آن برابر با صفر باشد .
مرحله سوم : با حل معادله [math]p(x)=0[/math] ریشه های معادله رابدست می آوریم.دقت کنید ریشه هایی قابل قبول هستند که مخرج کسر را صفر نکند .
مثال 2:معادلات زیر را حل کنید .
[math] 1)\frac{4}{{2x – 3}} + \frac{5}{{5x – 4}} = \frac{3}{{x + 2}} [/math]
مرحله اول همه را به یک طرف می بریم
[math] \frac{4}{{2x – 3}} + \frac{5}{{5x – 4}} – \frac{3}{{x + 2}} = 0[/math]
مرحله دوم کوچکترین مضرب مشترک مخرجها را حساب می کنیم
[math] (2x – 3)(5x – 4)(x + 2) [/math]
مرحله سوم : مخرج مشترک می گیریم و معادله را حل می کنیم
[math] \frac{{4(5x – 4)(x + 2)}}{{(2x – 3)(5x – 4)(x + 2)}} + \frac{{5(2x – 3)(x + 2)}}{{(2x – 3)(5x – 4)(x + 2)}} – \frac{{3(2x – 3)(5x – 4)}}{{(2x – 3)(5x – 4)(x + 2)}} = 0\\ [/math]
اکنون که مخرج مشترک گرفتیم ،کافیست صورت کسر را برابر صفر قرار دهیم و معادله را حل کنیم .
[math]4(5x – 4)(x + 2) + 5(2x – 3)(x + 2) – 3(2x – 3)(5x – 4) = 0\\4)(5{x^2} + 6x – 8) + 5(2{x^2} + x – 6) – 3(10{x^2} – 23x + 12) = 0\\20{x^2} + 24x – 32 + 10{x^2} + 5x – 30 – 30{x^2} + 69x – 36 = 0\\98x = 98 \Rightarrow x = 1[/math]
جواب [math]x=1[/math] قابل قبول است چون هیچ مخرجی را صفر نمی کند
[math] 2)\frac{{2x + 3}}{{2x – 2}} – \frac{5}{{{x^2} – 1}} = \frac{{2x – 3}}{{2x + 2}} [/math]
در فیلم زیر می توانید نحوه محاسبه این معادله را ببینید
جواب بدست آمده [math]x=1[/math] که ریشه مخرج هست یعنی مخرج کسر را صفر می کند پس قابل قبول نیست .
[math] 3)\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{{x^2} – 2x}} – \frac{{1 + x}}{x} = \frac{{x – 1}}{{x – 2}} [/math]
مرحله اول همه را به یک طرف می بریم
[math] \frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{{x^2} – 2x}} – \frac{{1 + x}}{x} – \frac{{x – 1}}{{x – 2}} = 0 [/math]
مرحله دوم کوچکترین مضرب مشترک مخرجها را حساب می کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 2x = x(x – 2)\\x\\x – 2\end{array} \right\} \to x(x – 2)[/math]
مرحله سوم : مخرج مشترک می گیریم و معادله را حل می کنیم
[math]\frac{{{x^2} – 2x + 2}}{{x(x – 2)}} – \frac{{(1 + x)(x – 2)}}{{x(x – 2)}} – \frac{{(x – 1)(x)}}{{x(x – 2)}} = 0\\{x^2} – 2x + 2 – {x^2} + x + 2 – {x^2} + x = 0 \Rightarrow – {x^2} + 4 = 0 \Rightarrow {x^2} = 4\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = – 2\end{array} \right\}[/math]
جواب [math]x=-2[/math] قابل قبول است.
خیلی خیلی ازتون ممنونم عالی بود