مشتق توابع ریاضی 2-مفهوم تابع مشتق

تابع مشتق

در مطلب گذشته در مورد مفهوم مشتق صحبت کردیم .اما ما فقط در مورد مشتق در یک نقطه صحبت کردیم حاصل آن یک عدد بود .و آن عدد مشتق تابع f در نقطه x=a می باشد.اما اگر مشتق تابعی را در نقطه نامعلومی مانند x حساب کنیم حاصل تابعی بر حسب x خواهد بود .در واقع اینجا ما میخواهیم تابع مشتق را بدست آوریم .

برای محاسبه تابع مشتق از دو فرمول زیر استفاده می کنیم که در مطلب قبلی مفهوم آنها را توضیح دادیم :

در این مطلب بیشتر از فرمول 1 استفاده می کنیم هر چند که هر دو مشابه هستند اما برای راحتی کار بیشتر از فرمول 1 استفاده خواهیم کرد .

مثال 1:تابع مشتق [math] f(x) = {x^2} [/math] را حساب کنید.

[math] \left\{ \begin{array}{l}f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h}\\f(x) = {x^2}\end{array} \right\} \to f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(x + h)}^2} – {x^2}}}{h}\\\\\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^2} + 2hx + {h^2} – {x^2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(2x + h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (2x + h) = 2x [/math]

یعنی تابع مشتق [math] f(x) = {x^2} [/math]  برابر [math] f'(x) = 2x [/math] است و حالا با استفاده از این تابع مشتق می توانیم مشتق تابع اصلی را در هر نقطه داده شده حساب کنیم .مثلا مشتق تابع در نقاط [math] x =  – \frac{1}{5},x = \sqrt 7 ,x = 50 [/math] به صورت زیر محاسبه می شود:

[math] f'( – \frac{1}{5}) = 2 \times  – \frac{1}{5} =  – \frac{2}{5}\\f'(\sqrt 7 ) = 2 \times \sqrt 7  = 2\sqrt 7 \\f'(50) = 2 \times 50 = 100 [/math]

در واقع ما با داشتن تابع مشتق می توانیم براحتی مشتق تابع را در هر نقطه داده شده با استفاده از تابع مشتق حساب کنیم .

مثال 2:مشتق تابع [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] را در نقطه صفر و نقطه [math]x=3[/math]  حساب کنید.

ابتدا تابع مشتق را حساب می کنیم :

[math] f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{x + h}} – \frac{1}{x}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x – x – h}}{{hx(x + h)}}\\= \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ – h}}{{hx(x + h)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ – 1}}{{x(x + h)}} =  – \frac{1}{{{x^2}}} [/math]

پس تابع مشتق [math] f(x) = \frac{1}{x} [/math] برابر [math] f'(x) =  – \frac{1}{{{x^2}}} [/math] اکنون می توانیم با استفاده از این تابع مشتق ، مشتق تابع را در نقاط داده شده حساب کنیم :

[math] f'(x) =  – \frac{1}{{{x^2}}}\\x = 0 \to f'(0) =  – \frac{1}{0} = \infty \\x = 3 \to f'(3) =  – \frac{1}{{{3^2}}} =  – \frac{1}{9} [/math]

 با توجه به محاسبات بالا مشتق تابع در نقطه صفر وجود ندارد .و فقط مشتق آن در نقطه 3 وجود دارد و برابر عدد است.

مثال 3:مشتق تابع [math] f(x) = \sqrt {x – 2} [/math] را حساب کنید و سپس [math] f'(6),f'(3)  را [/math] را محاسبه کنید.

[math] f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {x + h – 2}  – \sqrt {x – 2} }}{h}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\sqrt {x + h – 2}  – \sqrt {x – 2} )(\sqrt {x + h – 2}  + \sqrt {x – 2} )}}{{h(\sqrt {x + h – 2}  – \sqrt {x – 2} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x + h – 2 – x + 2}}{{h(\sqrt {x + h – 2}  – \sqrt {x – 2} )}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{{h(\sqrt {x + h – 2}  – \sqrt {x – 2} )}}\\ = \frac{2}{{2\sqrt {x – 2} }} [/math]

پس مشتق در نقاط داده شده به صورت زیر است :

[math] f'(x) = \frac{2}{{2\sqrt {x – 2} }}\\f'(3) = \frac{2}{{2\sqrt {3 – 2} }} = \frac{1}{2}\\f'(6) = \frac{2}{{2\sqrt {6 – 2} }} = \frac{1}{4} [/math]

مثال 4:تابع مشتق [math] f(x) = \frac{{x + 5}}{{x – 4}} [/math] را بدست آورید.

[math] f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) – f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{x + h + 5}}{{x + h – 4}} – \frac{{x + 5}}{{x – 4}}}}{h} = \frac{0}{0} [/math]

مبهم است و باید رفع ابهام کنیم :

[math] \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{(x + h + 5)(x – 4) – (x + 5)(x + h – 4)}}{{(x + h – 4)(x – 4)}}}}{h}\\\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^2} + xh + 5x – 4x – 4h – 20 – {x^2} – 5x – hx – 5h + 4x + 20}}{{h(x + h – 4)(x – 4)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ – 9h}}{{h(x + h – 4)(x – 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ – 9}}{{(x + h – 4)(x – 4)}} = \frac{{ – 9}}{{{{(x – 4)}^2}}} [/math]