مجموع جملات دنباله هندسی (تصاعد هندسی)
جزوه کامل مبحث دنباله های حسابی و هندسی
اگر میخواهید کل مبحث دنباله ها را مطالعه کنید می توانید در سطر بالا لینک جزوه کامل دنباله های حسابی و هندسی را ببینید
ما تصاعد هندسی را فرا گرفتیم و فهمیدیم که به کدام دنباله ،دنباله یا تصاعد هندسی می گویند ، اما اکنون می خواهیم مجموع این جملات دنباله را بدست آوریممجموع n جمله اول تصاعد هندسی :
از بخش های قبلی دانستیم که اگر دنباله هندسی زیر را داشته باشیم :
[math] a,aq,a{q^2},a{q^3},…[/math]
که [math] q \ne 1 [/math] برابر قدر نسبت دنباله هندسی و [math]a[/math] برابر جمله اول دنباله هندسی می باشد.و جمله عمومی به فرم :
[math] {a_n} = a{q^{n – 1}} [/math]
خواهد بود .
اکنون می خواهیم جمع n جمله از دنباله هندسی را حساب کنیم.مشخص است که این جمع بصورت :
[math] {S_n} = a + aq + a{q^2} + a{q^3},… + a{q^{n – 1}} [/math]
اگر تساوی بالا را در q ضرب کنیم خواهیم داشت :
[math] q{S_n} = aq + a{q^2} + a{q^3} + a{q^4},… + a{q^n} [/math]
اکنون دو عبارت بالا را از هم کم می کنیم
[math] {S_n} – q{S_n} = (a + aq + a{q^2} + a{q^3},… + a{q^{n – 1}}) – (aq + a{q^2} + a{q^3} + a{q^4},… + a{q^n}) [/math]
عبارت بالا براحتی ساده می شود و بصورت زیر خواهد بود :
[math] {S_n} – q{S_n} = (a – a{q^n}) \Rightarrow {S_n}(1 – q) = a(1 – {q^n})\\\\{S_n} = \frac{{a(1 – {q^n})}}{{1 – q}} [/math]
نتیجه :مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی از رابطه زیر بدست می آید :
[math] {S_n} = \frac{{a(1 – {q^n})}}{{1 – q}} [/math]
مثال 1:مجموع 11 جمله اول دنباله هندسی زیر را تعیین کنید.
[math] \frac{1}{4},\frac{1}{2},1,… [/math]
ابتدا باید قدر نسبت را حساب کنیم :
[math] q = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2 \to q = 2 [/math]
اکنون با دانستن قدر نسبت و جمله اول و تعداد جملات می توانیم مجموع جملات را حساب کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l}{S_n} = \frac{{a(1 – {q^n})}}{{1 – q}}\\q = 2\\a = \frac{1}{4}\\n = 11\end{array} \right\} \to {S_{11}} = \frac{1}{4}\left( {\frac{{1 – {2^{11}}}}{{1 – 2}}} \right) = \frac{{(1 – {2^{11}})}}{4} = \frac{{2047}}{4}\\\\[/math]
مثال 2: در یک دنباله هندسی مجموع شش جمله اول [math] \frac{{19}}{{27}} [/math] برابر مجموع سه جمله اول آن است . قدر نسبت دنباله را حساب کنید.
[math]\frac{{{S_6}}}{{{S_3}}} = \frac{{19}}{{27}} \Rightarrow \frac{{\frac{{a(1 – {q^6})}}{{1 – q}}}}{{\frac{{a(1 – {q^3})}}{{1 – q}}}} = \frac{{19}}{{27}} \Rightarrow \frac{{1 – {q^6}}}{{1 – {q^3}}} = \frac{{19}}{{27}} \Rightarrow \frac{{(1 – {q^3})(1 + {q^3})}}{{1 – {q^3}}} = \frac{{19}}{{27}}\\\\1 + {q^3} = \frac{{19}}{{27}} \Rightarrow {q^3} = – \frac{8}{{27}} \to q = – \frac{2}{3}[/math]
مثال 3:حاصل [math] x + {x^2} + {x^3} + … + {x^{10}} [/math] به ازای [math]x=\sqrt 3 [/math] را بیابید.
در نگاه اولیه متوجه می شویم که این در واقع جمع 10 جمله یک دنباله هندسی است که قدر نسبت این دنباله برابر x است و جمله اول این دنباله هم x است پس:
[math]a = x,q = \frac{{{x^2}}}{x} = x,n = 10\\{S_{10}} = \frac{{a(1 – {q^{10}})}}{{1 – q}} = \frac{{x(1 – {x^{10}})}}{{1 – x}}[/math]
اکنون در عبارت بالا به جای x مقدار رادیکال 3 را قرار می دهیم.
[math]\left\{ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \\{S_{10}} = \frac{{x(1 – {x^{10}})}}{{1 – x}}\end{array} \right\} \to {S_{10}} = \frac{{\sqrt 3 (1 – {{\sqrt 3 }^{10}})}}{{1 – \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 (1 – {3^5})}}{{1 – \sqrt 3 }}\\\\[/math]
نکته مهم :
حد مجموع :
اگر در یک دنباله هندسی نامتناهی ،[math]|q|<1[/math] باشد مجموع همه جملات آن برابر است با :
[math] S = \frac{a}{{1 – q}} [/math]
برای فهم بهتر به مثال زیر دقت کنید :
مثال 4:مجموع همه جملات دنباله [math] 1, – \frac{1}{4},\frac{1}{{16}}, – \frac{1}{{64}},… [/math] را بیابید.
[math]a = 1,q = – \frac{1}{4},|q| < 1 \Rightarrow S = \frac{a}{{1 – q}} = \frac{1}{{1 – ( – \frac{1}{4})}} = \frac{1}{{\frac{5}{4}}} = \frac{4}{5}\\[/math]
مثال 5: حاصل عبارت زیر را بدست آورید .
[math]\frac{{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + …}}{{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + …}}[/math]
در عبارت بالا مشخص است که صورت و مخرج جمع جملات یک دنباله هندسی است . قدر نسبت این دنباله هندسی چه در صورت و چه در مخرج برابر با [math] \frac{1}{2} [/math] پس
حاصل جمع صورت کسر :
[math]1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … \to \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\S = \frac{a}{{1 – q}}\end{array} \right\} \to S = \frac{1}{{1 – \frac{1}{2}}} = 2\\[/math]
حاصل جمع مخرج :
[math]\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + … \to \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{2}\\S = \frac{a}{{1 – q}}\end{array} \right\} \to S = \frac{{\frac{1}{2}}}{{1 – \frac{1}{2}}} = 1\\[/math]
پس حاصل جمع کل برابر 2 می شود.
خیلی خوب بود ممنون
سلام، اول ایراد و نواقص را عرض می کنم. ایراد: مختصری اشتباه تایپی در بالادیده شد، که حتما در بازبینی مجدد رفع خواهد شد. بجای کلمه “اکنون”، ” اکنو” تایپ شده است. نواقص: بهتر است در آغاز مثال های ملموسی ارئه شود تا انگیزه یافتن حاصل جمع متناهی و سپس نامتناهی از یک تصاعد هندسی مشخص شود. منظورمن مثال هایی است که خواننده مبتدی، (یا غیر مبتدی) به روش طبیعی و ملموس و یا حتی در زندگی روزمره خود به آن ها برخورد نموده و برای حل آن مسائل وادار به استفاده از فرمول های بالا گردد.مزیت و نکات مثبت: خسته نباشید و دستتان درد نکند. اینگونه کارها بسیار با ارزش است، و در راستای بالا بردن سطح آمزش عمومی و امکان دسترسی عموم افراد و گرفتن آموزش بسیار بسیار سودمند می باشد. نوع بکار بردن رنگ و قلم بسیار هوشمندانه و آگاهانه انتخاب شده است. توفیق تان را آرزومندم. در پایان سئوالی داشتم ، بخش آموزش مرحله مرحله با چه برنامه یا نرم افزاری نوشته و یا اجرا شده است؟
بخش آموزش مرحله به مرحله توسط نرم افزار فلاش تهیه شده است
سلام روش بیانتون عالیه کاش معلم دبیرستان ما اینجوری تدریس میکرد .
یه سوال اگه دو
جمله ی دلخواه داشته باشیم چطور قدر نسبتو حساب کنیم ؟ مرسی
با سلام و تشکر
پاسخ سوال شما در لینک زیر هست مفهوم و محاسبه تصاعد هندسی
http://math2easy.com/%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%B9%D8%AF-%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%DB%8C-1-%D9%85%D9%81%D9%87%D9%88%D9%85-%D8%AA%D8%B5%D8%A7%D8%B9%D8%AF-%D9%87%D9%86%D8%AF%D8%B3%DB%8C/
با سلام و خسته نباشید. بسیا از شما تشکر می کنم اثبات عالی بود خدا خیرتان بدهد :)))))))))))))))))))))))))
درود بر شما بسیار مفید و آموزنده بود. پیروز و سربلند باشید!
خیلی ممنونم استفاده کردم
عالییییییییی بود
Brrrraaaaavooo
کامل و یاد دهنده!
من خودم معروف ترین کتاب بازار رو دارم ولی متاسفانه فرمول رو اشتباه نوشته فک کنم البته!
سلام در رمول مجموع جملات هندسی a ضرب در صورت هست نه کل تقسیم در صورتی که در حل اولین مثال ضرب در کل تقسیم شده نه فقط صورت که در این حالت جواب بسیار متفاوت میدهم با زمانی که شما a را فقط در صورت ضرب کنید!!! ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
خیلی ممنون