مثلثات بخش 4-2_تمرینات حل شده مقادیر مثلثاتی
سوال1 : نسبت های مثلثاتی زاویه 120 درجه را بدست آورید.
با استفاده از رابطه [math] 180 – \theta [/math] و با توجه به شکل بالا داریم که :
[math]180^\circ – \theta \Rightarrow 120^\circ = 180^\circ – 60^\circ \\\sin (120^\circ ) = \sin (180^\circ – 60^\circ ) = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\cos (120^\circ ) = \cos (180^\circ – 60^\circ ) = – \cos 60^\circ = – \frac{1}{2} \\\tan (120^\circ ) = \tan (180^\circ – 60^\circ ) = – \tan 60^\circ = – \sqrt 3 \\\cot (120^\circ ) = \cot (180^\circ – 60^\circ ) = – \cot 60^\circ = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/math]
سوال2 : نسبت های مثلثاتی زاویه 300 درجه را بدست آورید.
با استفاده از رابطه [math] 360 – \theta [/math] این زاویه در واقع قرینه زاویه 60 درجه است با توجه به شکل بالا داریم که :
[math]360^\circ – \theta \Rightarrow 300^\circ = 360^\circ – 60^\circ \\\sin (300^\circ ) = \sin (360^\circ – 60^\circ ) = – \sin 60^\circ = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\cos (300^\circ ) = \cos (360^\circ – 60^\circ ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \\\tan (300^\circ ) = \tan (360^\circ – 60^\circ ) = – \tan 60^\circ = – \sqrt 3 \\\cot (300^\circ ) = \cot (360^\circ – 60^\circ ) = – \cot 60^\circ = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/math]
سوال3 : نسبت های مثلثاتی زاویه 240 درجه را بدست آورید.
با استفاده از رابطه [math] 180 + \theta [/math] و با توجه به شکل بالا داریم که :
[math]180^\circ + \theta \Rightarrow 240^\circ = 180^\circ + 60^\circ \\\sin (240^\circ ) = \sin (180^\circ + 60^\circ ) = – \sin 60^\circ = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\cos (240^\circ ) = \cos (180^\circ + 60^\circ ) = – \cos 60^\circ = – \frac{1}{2} \\\tan (240^\circ ) = \tan (180^\circ + 60^\circ ) = \tan 60^\circ = \sqrt 3 \\\cot (240^\circ ) = \cot (180^\circ + 60^\circ ) = \cot 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\[/math]
سوال 4: عبارت زیر را ساده کنید :
[math]\frac{{\sin 163^\circ }}{{\cos 197^\circ }} + \tan 17^\circ + \cos (180^\circ – \theta ) \times \tan (180^\circ + \theta ) \\[/math]
جواب :
[math]163^\circ = 180^\circ – 17 \\197^\circ = 180^\circ + 17^\circ \\= \frac{{\sin (180^\circ – 17^\circ )}}{{\cos (180^\circ + 17^\circ )}} + \tan 17^\circ + ( – \cos \theta ) \times \tan \theta \\= \frac{{{\rm{sin17}}^\circ }}{{ – {\rm{cos17}}^\circ }} + {\rm{tan17}}^\circ – {\rm{cos}}\theta \times{\rm{sin}}\theta {\rm{cos}}\theta \\= – {\rm{tan17}}^\circ + {\rm{tan17}}^\circ – {\rm{sin}}\theta = – {\rm{sin}}\theta \\[/math]
سوال 5:عبارت زیر را ساده کنید .
[math]\frac{{\sin 293^\circ }}{{\cos 427^\circ }} + \tan ( – 67^\circ ) \\[/math]
جواب :
[math]\frac{{\sin 293^\circ }}{{\cos 427^\circ }} + \tan ( – 67^\circ ) \\\frac{{\sin 293^\circ }}{{\cos 427^\circ }} + \tan ( – 67^\circ ) = \frac{{{\rm{sin}}({\rm{36}}0^\circ – {\rm{67}}^\circ )}}{{{\rm{cos}}({\rm{36}}0^\circ +{\rm{67}}^\circ )}} – {\rm{tan}}({\rm{67}}^\circ ) = \\= \frac{{ – {\rm{sin67}}^\circ }}{{{\rm{cos67}}^\circ }} – {\rm{tan67}}^\circ = – 2{\rm{tan67}}^\circ \\[/math]
سوال 6: عبارت زیر را با استفاده از نسبتهای مثلثاتی ساده کنید.
[math]{\tan ^2}210^\circ – (1 + \cos 120^\circ ){\sin ^2}405^\circ[/math]
جواب :
[math]{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}{\rm{21}}0^\circ – ({\rm{1}} + {\rm{cos12}}0^\circ ){\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{4}}0{\rm{5}}^\circ\\= {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}({\rm{18}}0^\circ + {\rm{3}}0^\circ ) – ({\rm{1}} + {\rm{cos}}({\rm{18}}0^\circ – {\rm{6}}0^\circ )){\rm{si}}{{\rm{n}}^2}({\rm{36}}0^\circ + {\rm{45}}^\circ ) \\= {\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}{\rm{3}}0^\circ – ({\rm{1}} + ( – {\rm{cos6}}0^\circ )){\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{45}}^\circ \\= {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} – \left( {1 – \frac{1}{2}} \right){\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3} – \left( { – \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \\[/math]
سوال 7: حاصل عبارت زیر را ساده کنید.
[math]\frac{{\cos (\theta – 90^\circ )\cos (720^\circ + \theta )\tan (\theta – 360^\circ )}}{{{{\sin }^2}(\theta + 360^\circ )\cos (\theta + 90^\circ )}} \\[/math]
جواب :
[math]= \frac{{{\rm{cos}}(\theta – {\rm{9}}0^\circ ){\rm{cos}}({\rm{72}}0^\circ + \theta ){\rm{tan}}(\theta – {\rm{36}}0^\circ )}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}(\theta + {\rm{36}}0^\circ ){\rm{cos}}(\theta + {\rm{9}}0^\circ )}} \\= \frac{{{\rm{cos}}[ – ({\rm{9}}0^\circ – \theta )]{\rm{cos}}({\rm{3}}({\rm{36}}0^\circ ) + \theta ){\rm{tan}}[ – ({\rm{36}}0^\circ – \theta )]}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}({\rm{36}}0^\circ + \theta ){\rm{cos}}({\rm{9}}0^\circ + \theta )}} \\{\rm{ = }}\frac{{{\rm{sin}}\theta {\rm{cos}}\theta {\rm{tan}}\theta }}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta ( – {\rm{sin}}\theta )}} \\= \frac{{ – {\rm{cos}}\theta (\frac{{{\rm{sin}}\theta }}{{{\rm{cos}}\theta }})}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta }} = – \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\theta }} \\[/math]
