مثلثات بخش 4-1-تعیین نسبتهای مثلثاتی برای تمام زاویا
تعیین مقادیر مثلثاتی برای تمام زاویا
زاویه اصلی(مرجع)
ما در بخشهای قبلی گفتیم که زاویه مثلثاتی در دایره مثلثاتی [math] x = \sin \theta [/math] و همچنین [math] y = \cos \theta [/math] که محور عمودی را محور سینوسها و محور افقی را محور کسینوسها نامیدیم .و گفتیم که برای محاسبه زاویه مثلثاتی باید مختصات نقطه را در دایره واحد مثلثاتی بدست می آوریم . خوب این یک روش اولیه است . اما ما می خواهیم در مورد تمام مقادیر زاویه مثلثاتی بحث کنیم و بدانیم که برخی از زوایا را می توان با تبدیل به اندازه های کوچکتر راحت تر حساب کرد . برای این کار باید زاویه اصلی یا مرجع را تعریف کنیم .
فرض کنید که [math] \theta [/math] یک زاویه استاندار باشد، اگر ضلع انتهایی این زاویه روی محور مختصات نباشد .در این صورت زاویه اصلی [math] \theta [/math] ما زاویه تند ( حاده) [math] \beta [/math] است . که بوسیله ضلع انتهایی زاویه [math] \theta [/math] و محور x ها شکل می گیرد.
شکل زیر را ببینید :
در شکل اول : زاویه [math] \theta ,\beta [/math] بر هم منطبق است و یکسان است چرا که ما اینجا یک زاویه تند(حاده) داریم و این حالت ساده ترین حالت است .
شکل دوم : اینجا زاویه ما در ناحیه دوم مثلثاتی قرار گرفته است و اینجا می بینیم که زاویه [math]\beta [/math] در ناحیه دوم چگونه قرار گرفته در واقع ما همیشه زاویه را نسبت به محور x ها در نظر می گیریم . پس اینجا رابطه زیر برقرار است :
[math] \beta = 180 – \theta [/math]
شکل سوم :اینجا زاویه ای داریم که در ناحیه سوم قرار گرفته خوب رابطه زیر خواهد بود :
[math] \beta = \theta – 180[/math]
شکل چهارم : زاویه ما در ناحیه چهارم دایره مثلثاتی قرار گرفته در واقع یزدیک به یک دور کامل 360 درجه است پس :
[math] \beta = 360 – \theta [/math]
مثال : شکل زیر را ببینید
در شکل 1 : زاویه ما 60 درجه است و این همان زاویه اصلی ما هست پس نیازی به هیچگونه تبدیل و تغییر نداریم
شکل 2: زاویه ما 120 درجه است که در ناحیه دوم قرار گرفته است و برای این زاویه ما زاویه اصلی را به صورت [math]120=180-60[/math] می نویسیم و اینجا زاویه 60 درجه در ناحیه دوم را بررسی می کنیم .
شکل 3: زاویه ما 240 درجه است در ناحیه سوم برای بدست آوردن زاویه اصلی [math]240=180+60[/math] می نویسیم
شکل 4: زاویه 315 درجه را در ناحیه چهارم مثلثاتی می توانیم به صورت [math]315=360-45[/math] بنویسیم و زاویه اصلی ما میشه همان 45 درجه در ناحیه چهارم مثلثاتی .
مثال 2 : زاویه 225 درجه را در نظر بگیرید این زاویه را روی دایره مثلثاتی نمایش دهید و سپس مقدار سینوس و کسینوس آن را حساب کنید .
همانطور که در شکل بالا می بینید این زاویه در ناحیه سوم مثلثاتی قرار گرفته است . و می توانیم برای بدست آوردن زاویه اصلی بصورت زیر عمل کنیم :
[math]225=180+45[/math]
پس زاویه اصلی ما 45 درجه است . حالا چون در ناحیه سوم قرار گرفته است . پس سینوس و کسینوس آن منفی خواهد بود .
[math]Sin225 = Sin(180 + 45) = – Sin(45) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\Cos225 = Cos(180 + 45) = – Cos(45) = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\[/math]
تعیین مقادیر مثلثاتی برای زاویا و نسبتهای مثلثاتی
1-زاویه های قرینه :
منظور از زاویه های قرینه در دایره مثلثاتی به زاویه های استانداردی گفته می شود که ضلع های انتهایی آنها نسبت به محور x ها قرینه باشند .
شکل بالا را ببیند در هر دو شکل زاویه ها قرینه هم هستند چون ضلع انتهایی این زاویه ها نسبت به محور x قرینه است .
همانطور که می بیند زاویه ما حاده (تند) است حالا کافیه نسبتهای مثلثاتی را برای آن بررسی کنیم .
رابطه بین [math] \theta , – \theta [/math]
[math]Sin( – \theta ) = – Sin\theta \\Cos( – \theta ) = Cos\theta \\\tan ( – \theta ) = – \tan \theta \\\cot ( – \theta ) = – \cot \theta \\[/math]
به شکل بالا دقت کنید قرینه زاویه در ناحیه چهارم قرار گرفته است . و در این ناحیه سینوس منفی است اما کسینوس مثبت است . و در نتیجه تانژانت و کتانژانت نیز منفی خواهند بود .
حالت بالا را می توان به شکل دیگری هم بیان کرد ، اگر به شکل دقت کنید می بینید که به شکل
[math] \theta ,360 – \theta [/math]
می توان نوشت یعنی دو زاویه ای که مجموعشان 360 درجه هست که اینها قرینه هم هستند .
[math]\sin (360^\circ – \theta ) = – \sin \theta \\\cos (360^\circ – \theta ) = \cos \theta \\\tan (360^\circ – \theta ) = – \tan \theta \\\cot (360^\circ – \theta ) = – \cot \theta \\[/math]
مثال : نسبت های مثلثاتی زاویه منفی 45 درجه را بدست آورید.
به شکل دقت کنید منفی 45 درجه در ناحیه چهارم است پس داریم :
[math]Sin( – 45) = – Sin45 = – \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\Cos( – 45) = Cos45 = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\\tan ( – 45) = – \tan 45 = – 1 \\\cot ( – 45) = – \cot 45 = – 1 \\[/math]
2-رابطه [math] \theta ,180 – \theta = \pi – \theta [/math] زاویه های مکمل
زاویه هایی که جمع آنها با هم برابر 180 درجه می شود ضلع های انتهایی این دو زاویه نسبت به محور y ها قرینه است .
شکل بالا را ببیند که زاویه [math] \theta ,180 – \theta [/math] نشان می دهد . نسبتهای مثلثاتی آن بصورت زیر خواهد بود :
[math]Sin(180 – \theta ) = Sin\theta \\Cos(180 – \theta ) = – Cos\theta \\\tan (180 – \theta ) = – \tan \theta \\Cot(180 – \theta ) = – Cot\theta \\\\[/math]
تساوی های بالا را می توان به شکل زیر(بر حسب رادیان) هم نوشت :
[math]Sin(\pi – \theta ) = Sin\theta \\Cos(\pi – \theta ) = – Cos\theta \\\tan (\pi – \theta ) = – \tan \theta \\Cot(\pi – \theta ) = – Cot\theta[/math]
مثال : نسبت های مثلثاتی زاویه 150 درجه را بدست آورید.
زاویه 150 درجه را براحتی می توانیم بصورت [math]150=180-30[/math] بنویسیم که اینجا زاویه 30 درجه زاویه اصلی ما خواهد بود که در ناحیه دوم مثلثاتی قرار گرفته است . سینوس 30 درجه مثبت و بقیه نسبتها منفی خواهد بود .
[math]Sin(180 – 30) = Sin30 = \frac{1}{2} \\Cos(180 – 30) = – Cos30 = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\tan (180 – 30) = – \tan 30 = – \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\Cot(180 – 30) = – Cot30 = – \sqrt 3 \\\\[/math]
3-رابطه [math] \theta ,180 + \theta [/math] زاویه های با اندازه تفاضل 180 درجه
زاویه های با اندازه [math] \theta ,180 + \theta [/math] زاویه هایی هستند که تفاضل آنها 180 درجه یا منفی 180 درجه است ضلع های انتهایی این زاویه ها نسبت به مبدا مختصات قرینه هستند .
شکل بالا کاملا واضح است که [math] \theta ,180 + \theta [/math] زاویه هایی را ایجاد می کند که نسبت به مبدا مختصات قرینه هستند .
[math]Sin(180 + \theta ) = – Sin\theta \\Cos(180 + \theta ) = – Cos\theta \\\tan (180 + \theta ) = \tan \theta \\Cot(180 + \theta ) = Cot\theta \\[/math]
مثال : نسبت های مثلثاتی زاویه 210 درجه را بدست آورید.
[math]Sin(180 + 30) = – Sin30 = – \frac{1}{2} \\Cos(180 + 30) = – Cos30 = – \frac{{\sqrt 3 }}{2} \\\tan (180 + 30) = \tan 30 = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \\Cot(180 + 30) = Cot30 = \sqrt 3 \\[/math]
مثال :مقدار [math]Sin( – \frac{{7\pi }}{6})[/math] را بدست آورید .
[math]Sin( – \frac{{7\pi }}{6}) = – Sin(\frac{{7\pi }}{6}) = – Sin(\pi + \frac{\pi }{6}) = Sin\frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}[/math]
3-رابطه [math] \theta ,90 – \theta = \frac{\pi }{2} – \theta[/math] زاویه های متمم
زاویه هایی که مجموع آنها 90 درجه می باشد .
یک مثلث قائم الزاویه به شکل زیر را در نظر بگیرید .
الان میخواهیم دو زاویه C,B را بررسی کنیم ،ببنید چون مثلث قائم الزاویه است پس این دوتا زاویه متمم هستند یعنی مجموع آنها برابر 90 درجه است ،حالا اگر فرض کنیم زاویه B برابر [math] \theta[/math] باشد آنگاه زاویه C برابر [math]90 – \theta = \frac{\pi }{2} – \theta[/math] خواهد بود پس با توجه به اینکه سینوس هر زاویه برابر نسبت ضلع روبرو بر وتر و کسینوس هر زوایه برابر ضلع مجاور بر وتر است داریم :
[math]Cos\theta = \frac{c}{a}[/math] | [math]Sin\theta = \frac{b}{a}[/math] | زاویه B |
[math]Sin(\frac{\pi }{2} – \theta ) = \frac{c}{a}[/math] | [math]Cos(\frac{\pi }{2} – \theta ) = \frac{b}{a}[/math] | زاویه C |
جدول بالا را با دقت ببینید براحتی می بینید که
[math]Sin(\frac{\pi }{2} – \theta ) = Cos\theta = \frac{c}{a}\\
Cos(\frac{\pi }{2} – \theta ) = Sin\theta = \frac{b}{a}[/math]
این برابری با استفاده از مثلث قائم الزاویه براحتی نشان داده شد اکنون همان را در دایره مثلثاتی بررسی می کنیم.
[math]\sin (90^\circ – \theta ) = \cos \theta \\\cos (90^\circ – \theta ) = \sin \theta \\\tan (90^\circ – \theta ) = \cot \theta \\\cot (90^\circ – \theta ) = \tan \theta \\[/math]
مثلا برای زاویه 50 درجه با توجه به تساویها بالا داریم :
[math]\cos 50^\circ = \sin (90^\circ – 50^\circ ) = \sin 40^\circ[/math]
4-رابطه [math] \theta ,90+\theta [/math] زاویه های متمم
زاویه هایی که تفاضل آنها 90 درجه می باشد .
[math]\sin (90^\circ + \theta ) = \cos \theta \\\cos (90^\circ + \theta ) = – \sin \theta \\\tan (90^\circ + \theta ) = – \cot \theta \\\cot (90^\circ + \theta ) = – \tan \theta \\[/math]
برای نمونه تساویهای زیر برقرار است :
[math]\sin 320^\circ = \sin (360^\circ – 40^\circ ) = – \sin 40^\circ \\\cos 230^\circ = \cos (180^\circ + 50^\circ ) = – \cos 50^\circ = – \sin (90^\circ – 50^\circ ) = – \sin 40^\circ \\\cos 130^\circ = \cos (90^\circ + 40^\circ ) = – \sin 40^\circ \\[/math]
5-رابطه بین زوایای با مجموع یا تفاضل [math]2k\pi[/math]
زوایه مانند [math]2\pi + \theta ,\theta[/math] در شکل زیر بر هم منطبق هستند ،به این زوایای هم انتها می گوییم .لذا نسبتهای مثلثاتی این دو زاویه با هم برابر هستند .
پس با توجه به توضیحات بالا و شکل نشان داده شده داریم :
[math]Sin(2\pi + \theta ) = Sin\theta \\Cos(2\pi + \theta ) = Cos\theta \\\tan (2\pi + \theta ) = \tan \theta \\
\cot (2\pi + \theta ) = \cot \theta[/math]
این حالت برای بیش از یک دوران کامل ،یعنی زوایای به صورت [math]2k\pi + \theta[/math] برقرار است :
[math]Sin(2k\pi + \theta ) = Sin\theta \\Cos(2k\pi + \theta ) = Cos\theta \\\tan (2k\pi + \theta ) = \tan \theta \\\cot (2k\pi + \theta ) = \cot \theta[/math]
حالت بعدی برای زوایای [math]2k\pi – \theta , – \theta[/math] نیز هم انتها هستند مشابه حالت بالا
[math]Sin(2k\pi – \theta ) = – Sin\theta \\Cos(2k\pi – \theta ) = Cos\theta \\\tan (2k\pi – \theta ) = – \tan \theta \\\cot (2k\pi – \theta ) = – \cot \theta[/math]
مثال :
[math]Sin(\frac{{5\pi }}{3}) = Sin(2\pi – \frac{\pi }{3}) = – Sin(\frac{\pi }{3}) = – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\tan (315) = \tan (360 – 45) = – \tan (45) = – 1[/math]