مثالهای هم ارزی در حد
قبل از خواندن این تمرینات مطلب آموزش مفهوم مثالهای هم ارزی در حد را مطالعه کنید
در این پست چند تمرین از هم ارزی در حد را با هم مرور می کنیم
حدهای زیر را با استفاده از هم ارزی حل کنید.
[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 4x)}}{{\sin 3x}} = ? \\[/math]
برای حل این مساله می دانیم که هم ارزیهای زیر برقرار است :
[math]\ln (1 + x) \sim x \\\sin x \sim x \\[/math]
اکنون با توجه به رابطه هم ارزی فوق می توان حد را بصورت زیر حل کنیم .
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + 4x)}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = \frac{{4x}}{{3x}} = \frac{4}{3} \\[/math]
[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + x}} – 1}}{x} = ? \\[/math]
برای حل این مساله هم ارزیها زیر را بکار می بریم
[math] \sqrt[3]{{1 + x}} \sim 1 + \frac{x}{3} \\[/math]
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + x}} – 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + \frac{x}{3} – 1}}{x} = \frac{1}{3}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{x} = \frac{1}{3} \\[/math]
[math]3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x + 3{x^2}} – 1}}{x} = ? \\[/math]
اکنون با توجه به رابطه هم ارزی رادیکالها می توان یک هم ارزی برای عبارت زیر پرانتز بصورت زیر بدست آورد.
[math] \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[n]{{1 + au}} \sim 1 + \frac{a}{n} \\ \sqrt {1 + 2x + 3{x^2}} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = 2x + 3{x^2} \\ \sqrt {1 + 2x + 3{x^2}} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[n]{{1 + au}} = \sqrt[2]{{1 + (2x + 3{x^2}}} \\ a = 1,n = 2 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \\\left\{ {\sqrt {1 + 2x + 3{x^2}} \sim \frac{{2x + 3{x^2}}}{2}} \right\} \\[/math]
اکنون بر اساس هم ارزی بدست آمده در بالا
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x + 3{x^2}} – 1}}{x} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 + \frac{{2x + 3{x^2}}}{2} – 1}}{x} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + 3{x^2}}}{x} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2 + 3x) = \frac{1}{2}.2 = 1 \\[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\log _2^{x – 1}}}{{x – 2}} = ? \\[/math]
می دانیم که هم ارزی زیر برای تابع لگاریتمی بر قرار است ، اما در این مساله باید تغییراتی در لگاریتم صورت مساله ایجاد کنیم تا بتوان برای آن از هم ارزی استفاده کرد
[math] \ln (1 + x) \sim x \\[/math]
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\log _2^{x – 1}}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\log _2^x – \log _2^2}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\log _2^x}}{{x – 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{{\ln \frac{x}{2}}}{{\ln 2}}}}{{x – 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln \frac{x}{2}}}{{x – 2}} = \\ \\\frac{1}{{\ln 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\ln \left[ {1 + (\frac{x}{2} – 1)} \right]}}{{x – 2}} = \frac{1}{{\ln 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{x}{2} – 1}}{{x – 2}} = \frac{1}{{2\ln 2}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x – 2}}{{x – 2}} =\frac{1}{{2\ln 2}} \\[/math]
[math]5)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin (x – 1)}}{{{x^4} – 1}} = ? \\[/math]
برای حل این مساله قبل از هم ارزی نیاز به تغییر متغیر به صورت زیر خواهیم داشت
[math] x – 1 = t \Rightarrow t \to 0,x \to 1 \\[/math]
هم چنین اتحاد زیر نیز برای حل مساله استفاده می کنیم
[math] {(t + 1)^4} = {t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1 \\[/math]
[math]\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin (x – 1)}}{{{x^4} – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{{({t^4} + 4{t^3} + 6{t^2} + 4t + 1) – 1}} \\ \left\{ {\sin t \sim t} \right\} \\\end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{t({t^3} + 4{t^2} + 6t + 4)}} = \\ \\\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{({t^3} + 4{t^2} + 6t + 4)}} = \frac{1}{4} \\[/math]