فاکتوریل

فاکتوریل

فاکتوریل اگر [math]n[/math] یک عدد طبیعی باشد،حاصل ضرب اعداد طبیعی و متوالی از 1 تا [math]n[/math] را به صورت [math] n![/math] (n فاکتوریل) نمایش می دهیم . در واقع n! بصورت زیر تعریف می‌شود:

[math] n! = n \times (n – 1) \times (n – 2) \times … \times 2 \times 1[/math]

مثال	نماد فاکتوریل

محاسبه فاکتوریل اعداد 1 تا 5 :

چند مثال برای یادگیری بیشتر

1)

[math] \frac{{5!}}{{4!}} = \frac{{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{{5 \times \not 4 \times \not 3 \times \not 2 \times \not 1}}{{\not 4 \times \not 3 \times \not 2 \times \not 1}} = 5[/math]

2)[math]\frac{{10!}}{{8!}} = \frac{{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}}{{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}} = \frac{{10 \times 9 \times \not 8 \times \not 7 \times \not 6 \times \not 5 \times \not 4 \times \not 3 \times \not 2 \times \not 1}}{{\not 8 \times \not 7 \times \not 6 \times \not 5 \times \not 4 \times \not 3 \times \not 2 \times \not 1}} = 10 \times 9 = 90[/math]

نکته مهم : برای [math]n=0[/math]  به طور قراردادی [math]0!=1[/math] در نظر می گیریم .به دلایل زیر ما این قرار داد را تعریف می کنیم :

• تعداد جایگشت‌های خطی با صفر عنصر، برابر با ۱ است، زیرا تنها یک حالت برای جایگشت دادن صفر عنصر داریم (جایگشت خالی).
• در فرمول ترکیب

[math]\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right)\\[/math]

به ازای [math]r=0[/math] باید مقدار 1 را در نظر بگیریم چون مقدار صفر فاکتوریل در مخرج ظاهر می شود که اگر ان را برابر 1 درنظر بگیریم مشکل حل می شود.

[math]\left( \begin{array}{l}n\\r\end{array} \right) = \frac{{n!}}{{r!(n – r)!}}\\\\r = 0 \Rightarrow \left( \begin{array}{l}n\\0\end{array} \right) = \frac{{n!}}{{0!(n – 0)!}} = \frac{{n!}}{{0!n!}} = \frac{1}{{0!}} = \frac{1}{1} = 1\\[/math]

مثالهای بیشتر برای یادگیری

[math]\frac{{n!}}{{(n – 3)!}} = \frac{{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)!}}{{(n – 3)!}} = n(n – 1 (n – 2)\\\\\frac{{n!}}{{(n – 5)!}} = \frac{{n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)!}}{{(n – 5)!}} = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)\\[/math]

گاهی به ما ضربهایی داده می شود که باید آنها را به نماد فاکتوریل تبدیل کرد .در این حالتها باید آن را در (آخرین عدد منهای یک فاکتوریل) ضرب و تقسیم کرد.

[math] 1)9 \times 8[/math]

در مثال بالا آخرین عدد 8 است پس باید در 7 فاکتوریل ضرب و تقسیم کرد.

[math]9 \times 8 \Rightarrow 9 \times 8 \times \frac{{7!}}{{7!}} = \frac{{9 \times 8 \times 7!}}{{7!}} = \frac{{9!}}{{7!}}\\[/math]

 

[math] 2)11 \times 10 \times 9 [/math]

در مثال بالا آخرین عدد 9 است پس باید در 8 فاکتوریل ضرب و تقسیم کرد.

[math]11 \times 10 \times 9 \Rightarrow 11 \times 10 \times 9 \times \frac{{8!}}{{8!}} = \frac{{11 \times 10 \times 9 \times 8!}}{{8!}} = \frac{{11!}}{{8!}}[/math]

بعضی از اشتباهات رایج در فاکتوریل

عبارتهای زیر نادرست است .

1-جمع دو فاکتوریل

[math] 6! = 3! + 3![/math]

زیرا:

[math]\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6! = 720}\\{3! = 6 \Rightarrow 3! + 3! = 12}\end{array}} \right\} \Rightarrow 720 \ne 12[/math]

2-ضرب دو فاکتوریل

عبارت زیر نادرست است :

[math] 8! = 4! \times 2![/math]

زیرا :

[math]\left\{ \begin{array}{l}8! = 40320\\4! = 6\\2! = 2\end{array} \right\} \Rightarrow 40320 \ne 6 \times 2\\[/math]

 

3-ضرب یک عدد در فاکتوریل

عبارت زیر نادرست است

[math] 2 \times 3! = 6![/math]

زیرا:

[math]\left\{ \begin{array}{l}3! = 6\\2 \times 6 = 12\\6! = 720\end{array} \right\} \Rightarrow 2 \times 6 \ne 720[/math]

 

4-توان یک عدد فاکتوریل

عبارت زیر نادرست است

[math] {(3!)^2} = 9![/math]

زیرا :

[math]\left\{ \begin{array}{l}3! = 6\\9! = 362880\\{(3!)^2} = {6^2} = 36 \end{array} \right\} \Rightarrow {6^2} \ne 362880[/math]

5-تقسیم دو عدد فاکتوریل

دو عدد فاکتوریل را نمی توان تقسیم کرد مگر بعد از محاسبه کامل فاکتوریل لذا عبارت زیر نادرست است .

[math]\frac{{8!}}{{2!}} = 4![/math]

به این دلیل که :

[math]\left\{ \begin{array}{l}8! = {\rm{40320}}\\2! = 2\\4! = 24\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{{\rm{40320}}}}{2} \ne 24[/math]

نتیجه گیری : برای محاسبه ضرب ، تقسیم ،جمع ، تفریق و توان اعداد فاکتوریل دار ، ابتدا باید حاصل فاکتوریل را حساب کرد یا به عبارتهای ساده تری تبدیل کنیم و سپس نتیجه نهایی را بدست آوریم .

مثال : مقدار عبارتهای زیر را حساب کنید.

[math]1)\frac{{20!}}{{5!10!}}[/math]

پاسخ :

[math]20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17!\\5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\\\frac{{20!}}{{5!17!}} = \frac{{20 \times 19 \times 18 \times 17!}}{{5! \times 17!}} = \frac{{20 \times 19 \times 18}}{{5!}} = \frac{{20 \times 19 \times 18}}{{120}} = \frac{{19 \times 18}}{6} = 19 \times 3 = 57\\[/math]