عدد اصلی یک مجموعه متناهی
عدد اصلی یک مجموعه متناهی :
تعداد عضوهای هر مجموعه متناهی مانند [math]A[/math] را عدد اصلی آن مجموعه نامیده و با [math]n(A)[/math] نمایش می دهیم .
مثلا مجموعه [math]A={1,2,3,4}[/math] دارای چهار عضو است و عدد اصلی آن یعنی [math]n(A)=4[/math]
عدد اصلی اجتماع دو یا سه مجموعه :
[math]n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \\n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(c) – n(A \cap B) – n(B \cap C) – n(A \cap C) + n(A \cap B \cap C)[/math]
همچنین عدد اصلی متمم اجتماع دو مجموعه بالا بصورت زیر است ( دقت کنید که U مجموعه مرجع است)
[math]n(A’ \cap B’) = n(A \cup B)’ = n(U) – n(A \cup B) \\n(A’ \cup B’) = n(A \cap B)’ = n(U) – n(A \cup B) \\[/math]
اکنون مطلب بالا را با ذکر مثال بیشتر توضیح می دهیم تا کاربردی بودن آن را نشان دهیم :
مثال : در یک جشنواره فیلم کوتاه با شرکت 21 فیلم در موضوعات مختلف در حال برگزاری است که د بین انها 7 فیلم کارتونی و 8 فیلم طنز وجود دارد به طوری که 3 تا از فیلم های کارتونی با مضمون طنز می باشند مطلوبست تعداد کل فیلم هایی که :
الف)کارتونی یا طنز هستند.
ب)غیرکارتونی و غیر طنز هستند
روش اول :
چون گفته تعداد کل فیلمها برابر 21 است یعنی تعداد اعضای اصلی مجموعه مرجع ما برابر 21 است : [math]n(U)=21[/math]
اگر فرض کنیم که C نمایش فیلمهای کارتونی و T نشان دهند مجموعه فیلمهای طنز باشد حالا داریم :
گفته 3 تا فیلم ها کارتونی با مضمون طنز هستند یعنی در واقع اشتراک مجموعه C,T دارای سه عضو هست :
[math]\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n(C) = 7 \\n(T) = 8 \\\end{array} \right\} \Rightarrow n(C \cup T) = n(C) + n(T) – n(C \cap T) = 7 + 8 – 3 = 12 \\\\\end{array}\][/math]
ب)اینجا گفته غیرکارتونی و غیر طنز هستند ، یعنی در واقع متمم حالت الف هست :
[math]\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}n(C \cup T) = 12 \\n(U) = 21 \\\end{array} \right\} \Rightarrow n(C \cup T)’ = n(U) – n(C \cup T) = 21 – 12 = 9 \\\end{array}\][/math]
روش دوم استفاده از نمودار ون است :
مثال 2:در یک کلاس 25 نفری ،تعداد 15 نفر عضو تیم فوتبال و 11 نفر عضو تیم بسکتبال و 11 نفر عضو بسکتبال هستند.اگر 5 نفر از دانش آموزان این کلاس عضو هیچ یک از این دو تیم نباشند،مشخص کنید چند نفر از آنها عضو هر دو تیم هستند.
روش اول با استفاده از نمودار :
ما اینجا فقط با 20 نفر سر و کار داریم چون 5 نفر اصلا عضو هیچ تیمی نیستند پس داریم :
[math] 15 – x + x + 11 – x = 20 \Rightarrow 26 – x = 20 \Rightarrow x = 6 [/math]
در واقع 6 نفر عضو هر دو تیم هستند .
روش دوم با استفاده از فرمول هست(B مجموعه بسکتبال و F مجموعه فوتبال)
خوب می دانیم که :
[math]\left.\begin{matrix}n(F) = 15 \\n(B) = 11 \\n(B \cup F) = 20 \\\end{matrix}\right\}\rightarrow n(B \cup F) = n(F) + n(B) – n(B \cap F) \\n(B \cup F) = n(F) + n(B) – n(B \cap F) \\\Rightarrow 20=15+11- n(B \cap F)\Rightarrow n(B \cap F)=6[/math]