عبارت های جبری – اتحادها

اتحادها

یکی از خاصیتهایی که ممکن است بارها و بارها در مورد چند جمله ایها استفاده کنید ضرب چند جمله و درچند جمله دیگر است . برای این کار ما نیاز به یک سری الگوهای و قواعد خاصی داریم تا این فرایند ضرب جمله ها را ساده تر کنیم .اگر شما به خاطر دارید در موضوع الگوها و دنباله های عددی ما به یک سری قوانینی رسیدیم که ما را در پیدا کردن جمله های عمومی و جملات بعدی یک دنباله کمک می کرد . اتحادهای ریاضی نیز در مبحث چند جمله ایها همان کاربرد را دارند و در حقیقت ما را کمک می کنند که محاسبات چند جمله ایها را با سرعت بیشتر و دقت بیشتر انجام دهیم اگر شما می توانید این الگوهای چند جمله ای در واقع اتحاد های ریاضی را به خاطر داشته باشید همیشه می توانید ضرب دو جمله ایها را به راحتی انجام دهید.

ما در پایه نهم در مورد اتحادها صحبت کردیم و آموزشهایی ارائه دادیم ،اما در این نوشته می خواهیم نگاهی جمع بندی شده نسبت به اتحادها داشته باشیم و مروری کلی بر اتحادها داشته باشیم .

1-اتحاد های گروه اول : این اتحادها از جمع و تفریق دو جمله به توان 2 یا 3 بدست می آیند:

الف) اتحاد مربع دو جمله ای

[math]{(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}[/math]

مربع مجموع دو جمله برابر است با مربع جمله اول بعلاوه دوبرابر حاصلضرب جمله اول در جمله دوم بعلاوه مربع جمله دوم

[math] {(a – b)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2} [/math]

مربع تفاضل دو جمله برابر است با مربع جمله اول منهای دوبرابر حاصلضرب جمله اول در جمله دوم بعلاوه مربع جمله دوم

[math] {(2x + y)^2} = 4{x^2} + 4xy + {y^2} [/math]	[math] {(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}[/math]
[math] {(2x – y)^2} = 4{x^2} -4xy + {y^2} [/math]	[math] {(a – b)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2} [/math]

 

از نظر هندسی اتحاد مربع مجموع دو جمله بصورت زیر نمایش داده می شود :

مربع بالا طول هر ضلع آن برابر با [math]a+b[/math] است حالا اگر داخل این مربع را تفکیک کنیم و مربع و مستطیل های کوچکتری درون آن مطابق شکل بالا بدست آوریم مساحت آن حاصل جمع مساحت مربع و مستطیل های داخل است شکل زیر تفکیک این مربع را نشان می دهد

مثال :با استفاده از اتحادها عبارتهای زیر را حساب کنید:

[math] {98^2} = {(100 – 2)^2} = {100^2} – 2(100)(2) + {2^2} = 10000 – 400 + 4 = 9604 \\[/math]

[math]{\left( {{\rm{2}}x – {\rm{3}}} \right)^2} = {\rm{4}}{x^2} – {\rm{12}}x + {\rm{9}}{{\rm{(2}}{{\rm{a}}^m} + 3{b^2})^2} = {({\rm{2}}{{\rm{a}}^m})^2} + 2({\rm{2}}{{\rm{a}}^m})(3{b^2}) + {(3{b^2})^2} = 4{a^{2m}} + 12{a^m}{b^2} + 9{b^4} \\[/math]

 

ب) اتحاد مکعب دو جمله ای

حالت دیگر اتحاد مکعب دو جمله ای ،مکعب یعنی به توان 3 باید باشد

مثال	اتحاد
[math]{(2x + y)^3} = {(2x)^3} + 3{(2x)^2}(y) + 3(2x){(y)^2} + {y^3} = 8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {\rm{ }}{y^3}[/math]	[math] {(a + b)^3} \\= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} [/math]
[math]{(2x – y)^3} \\= {(2x)^3} – {(2x)^2}(y) + 3(2x){(y)^2} – {y^3} \\= 8{x^3} -12{x^2}y + 6x{y^2} – {y^3} \\[/math]	[math] {(a – b)^3} \\= {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3} [/math]

 

نمایش هندسی اتحاد مجموع مکعب ها را می توان بصورت مکعبی در نظر گرفت که هر ضلع آن برابر با [math]a+b[/math] باشد . تصویر زیر را ببینید که درون این مکعب مکعبهای دیگری تشکیل می شوند که با محاسبه مساحت این مکعبها ، اتحاد مورد نظر ما بدست می آید :

مثال :با استفاده از اتحاد مکعب دو جمله ای ، حاصل عبارت های زیر را بدست آورید.

[math]{(ab + 1)^3} = {a^3}{b^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + 1 \\{({b^2} – 1)^3} = {({b^2})^3} – 3{({b^2})^2}(1) + 3({b^2}){(1)^2} + {1^3} = {b^6} – 3{b^4} + 3{b^2} + 1\\{98^3} = {(100 – 2)^3} = {100^3} – 3 \times {(100)^2} \times 2 + 3 \times (100) \times {(2)^2} – {2^3} = \\1000000 – 60000 + 1200 – 8 = 941192 \\[/math]

استنتاجها و کاربردهای اتحادهای بالا در محاسبه دیگر اتحادها :

حتما شما این سوال براتون مطرح میشه که عبارت پایین را چگونه باید حساب کنیم :

[math] {(a + b + c)^2} = ?[/math]

اتحاد بالا ، اتحاد مربع سه جمله ای معروف است ، در واقع این اتحاد به کمک اتحاد مجموع مربعها به سادگی بدست می آید :

[math] {(a + b + c)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc[/math]

در فیلم زیر در مورد این اتحاد توضیح داده ایم حتما شاهده کنید :

2-اتحادهای گروه دوم

اکنون می رسیم به گروه دیگری از اتحادها که با گروه اول متفاوت تر هستند این اتحادها کمی پیچیده تر هستند

الف ) اتحاد مزدوج : این اتحاد ساده ترین اتحاد گروه دوم است و در واقع حاصلضرب جمع در تفاضل دو جمله است :

مثال	اتحاد
[math] (2a + 5)(2a – 5) = {(2a)^2} – {5^2} = 4{a^2} – 25 [/math]	[math] (a + b)(a – b) = {a^2} – {b^2} [/math]

 

تعبیر هندسی اتحاد مزدوج بصورت شکل زیر است یک مربعی داریم که هر ضلع آن برابر a است ، داخل این مربع مربع دیگری درنظر می گیریم که طول هر ضلع آن برابر b است حالا مساحت مستطیل و مربعها را بدست می آوریم و حاصل آن ها را جمع می کنیم :

مثال :با استفاده از اتحاد مزدوج ، حاصل عبارت های زیر را بدست آورید.

[math] (10 – x)(10 + x) [/math]

اولین کاری که باید انجام دهیم اینکه باید به جابجایی و اندکی تغییر عبارت بالا را به فرم اتحاد مزدوج تبدیل کنیم تا بتوانیم آن را حساب کنیم

[math] = (10 – x)(10 + x) = {10^2} – {x^2} = 100 – {x^2} \\[/math]

[math]\\( – y – 2z)( – 2z + y) \\[/math]

ابتدا به جابجایی و اندکی تغییر عبارت بالا را به فرم اتحاد مزدوج تبدیل کنیم تا بتوانیم آن را حساب کنیم

[math] = ( – 2z – y)( – 2z + y) = {( – 2z)^2} – {y^2} = 4{z^2} – {y^2} \\[/math]

 

ب) اتحاد جمله مشترک : عبارت [math]x+a[/math] و [math]x+b[/math] حاصلضرب دو ، دو جمله ای است که هر دو عمل مشترک [math]x[/math] دارند با انجام ضرب آن ها و مرتب کردن داریم :

مثال	اتحاد
[math] (x + 1)(x + 2) \\= {x^2} + (1 + 2)x + (1)(2) \\= {x^2} + 3x + 2 [/math]	[math] (x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab [/math]

 

مثال :با استفاده از اتحاد جمله مشترک ، حاصل عبارت های زیر را بدست آورید.

[math] (x + 9)(x – 4)[/math]

قبل از هر چیز باید آن را به فرم استاندارد اتحاد جمله مشترک بنویسم بصورت زیر :

[math] = (x + 9)(x + ( – 4)) = {x^2} + (9 – 4)x + (9)( – 4) = {x^2} + 5x – 36[/math]

[math]\\({x^2} – y)({x^2} + z) \\({x^2} + ( – y))({x^2} + z) = {({x^2})^2} + ( – y + z){x^2} + ( – y)(z) = {x^4} – y{x^2} + z{x^2} – yz[/math]

ج) اتحاد مجموع و تفاضل مکعب ها ( چاق و لاغر) :

اتحاد چاق و لاغر را به نوعی تعمیم اتحاد مزدوج نیز می گویند به این صورت که اگر اتحاد مزودوج زیر را در نظر بگیریم :

[math](a – b)(a + b) = {a^2} – {b^2} \\[/math]

مثال	اتحاد
[math] 8 + {y^3}\\ = {(2)^3} + {y^3} \\= (2 + y)(4 – 2y + {y^2}) [/math]	[math] {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} – ab + {b^2}) [/math]
[math] 8 – {y^3} \\= {(2)^3} – {y^3}\\ = (2 – y)(4 + 2y + {y^2}) [/math]	[math] {a^3} – {b^3} = (a – b)({a^2} + ab + {b^2}) [/math]

 

مثال :با استفاده از اتحاد چاق و لاغر ، حاصل عبارت های زیر را بدست آورید.

[math]27{x^3} – 8 \\= {(3x)^3} – {2^3} = (3x – 2)(9{x^2} + 6x + 4) \\\\x{y^3} – 8x \\x({y^3} – 8) = x({y^3} – {2^3}) = x(y – 2)({y^2} + 2y + 4) \\[/math]