ریشه n ام اعداد
در بخشهای قبلی در مورد ریشه دوم –سوم-چهارم و پنجم اعداد صحبت کردیم .الان می خواهیم در مورد ریشه n ام اعداد صحبت کنیم و قوانین جامع ریشه گیری را بررسی کنیم .
اگر [math] n \ge 2[/math] یک عدد طبیعی باشد . b را ریشه n ام عدد a می نامیم هر گاه
[math] {b^n} = a[/math]
و ریشه n ام عدد a را با نماد [math] \sqrt[n]{a}[/math] نمایش می دهیم .
عدد [math]-81[/math] را در نظر بگیرید طبق جدول زیر میخواهیم ریشه های مختلف آن را بدست اوریم :
ریشه هفتم | ریشه ششم | ریشه پنجم | ریشه چهارم | ریشه سوم | ریشه دوم |
[math] \sqrt[7]{{ – 81}}[/math] | ندارد | [math] \sqrt[5]{{ – 81}}[/math] | ندارد | [math] \sqrt[3]{{ – 81}} = – 3\sqrt[3]{3}[/math] | ندارد |
[math]\sqrt[3]{{ – 81}} = – 3\sqrt[3]{3} \\- 81 = – {3^3} \times 3 \Rightarrow \sqrt[3]{{ – 81}} = \sqrt[3]{{ – {3^3} \times 3}} = – 3\sqrt[3]{3} \\[/math]
در جدول بالا مشاهده کردیم که چون عدد ما منفی است ، ریشه های زوج برای عدد منفی تعریف نشده اند ، مثلا عدد منفی 81 ریشه دوم و چهارم و ششم ندارد . اما ریشه های فرد دارد و قابل محاسبه است.
اکنون میخواهیم عدد [math]81[/math] که یک عدد مثبت است را بررسی کنیم :
ریشه هفتم | ریشه ششم | ریشه پنجم | ریشه چهارم | ریشه سوم | ریشه دوم |
[math] \sqrt[7]{{81}}[/math] | [math] \sqrt[6]{{81}}, – \sqrt[6]{{81}}[/math] | [math] \sqrt[5]{{81}}[/math] | [math]3,-3[/math] | [math] 3\sqrt 3 [/math] | [math]9,-9[/math] |
در جدول بالا دیدیم که یک عدد مثبت تمام ریشه زوح و فرد را دارد .
برای ریشه گیری اعداد مثبت دو مرحله زیر را باید بررسی کنیم (ریشه n ام عدد [math]a>0[/math] ):
الف)اگر n زوج باشد . یعنی ریشه زوج عدد را می خواهیم حساب کنیم ،اینجا ما دو ریشه داریم بصورت :
[math] \sqrt[n]{a}, – \sqrt[n]{a}[/math]
مثال :ریشه چهارم عدد 81 برابر است با :
[math]81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = {3^4} \\\sqrt[4]{{81}} = 3,\sqrt[4]{{81}} = – 3 \Leftrightarrow {3^4} = 81,{( – 3)^4} = 81 \\[/math]
ب)اما اگر a مثبت باشد اما n فرد باشد یعنی در واقع ریشه فرد عدد a را می خواهیم حساب کنیم .a دارای یک ریشه خواهد بود.
مثال :
[math]\sqrt[3]{{27}} = 3 \Leftrightarrow {3^3} = 27 \\\sqrt[3]{{81}} = \sqrt[3]{{{3^4}}} = 3\sqrt 3 \\[/math]
2-ریشه گیری اعداد منفی [math] \sqrt[n]{{ – a}}[/math]
الف)اگر ریشه زوج باشد (n زوج) ریشه n ام این عدد وجود ندارد
[math] \sqrt[4]{{ – 81}} = [/math]وجود ندارد
ب)اگر ریشه فرد باشد(n فرد باشد) عدد [math]-a[/math] دارای یک ریشه است.
[math] \sqrt[3]{{ – 8}} = – 3[/math]
حاصل عبارتهای زیر را بدست آورید
[math]1)\sqrt[3]{{125}} = 5 \Leftrightarrow {5^3} = 125 \\2)\sqrt[9]{{ – 1}} = – 1 \\3)\sqrt[4]{{625}} = 5, – 5 \Leftrightarrow {5^4} = 625,{( – 5)^4} = 625 \\4) – \sqrt[4]{{16}} = – 2 \\5)\sqrt[5]{{ – 32}} = – 2 \\[/math]
نکته :[math] \sqrt[n]{{{x^n}}}[/math] اگر n فرد باشد برابر [math]x[/math] اما اگر n زوج باشد برابر :
[math] \sqrt[n]{{{x^n}}} = |x|[/math]
مثال :
[math]\sqrt[2]{{{x^2}}} = |x| \\\sqrt[4]{{{x^4}}} = |x| \\\sqrt[4]{{81}} = \sqrt[4]{{{3^4}}} = |3| = 3 \\\sqrt[4]{{{{( – 2)}^4}}} = | – 2| = 2 \\[/math]
بطور کلی اگر n زوج باشد [math] \sqrt[n]{{{a^n}}} = |a|[/math] و اگر فرد باشد [math] \sqrt[n]{{{a^n}}} = a[/math]
فرق بین [math] \sqrt[n]{{{a^n}}},{(\sqrt[n]{a})^n}[/math]
[math] \sqrt[4]{{{2^4}}} = |2| = 2[/math] | n=4,a=2 | a>0 | N زوج |
[math]\sqrt[n]{{{a^n}}}[/math] |
[math] \sqrt[4]{{{{( – 2)}^4}}} = | – 2| = 2[/math] | n=4 ,a=-2 | a<0 | ||
[math] \sqrt[3]{{{2^3}}} = 2[/math] | n=3,a=2 | a>0 | n فرد | |
[math] \sqrt[3]{{{{( – 2)}^3}}} = – 2[/math] | n=3,=-2 | a<0 |
از جدول بالا نتیجه می گیریم که برای n های زوج [math] \sqrt[n]{{{a^n}}} = |a|[/math] و برای n های فرد [math] \sqrt[n]{{{a^n}}} = a[/math]
[math] {(\sqrt[4]{{16}})^4} = 16 [/math] | n=4,a=16 | a>0 | N زوج |
[math]{(\sqrt[n]{a})^n} [/math] |
[math] {(\sqrt[4]{{ – 16}})^4} = [/math]تعریف نشده | n=4 ,a=-16 | a<0 | ||
[math] {(\sqrt[3]{8})^3} = 8 [/math] | n=3,a=8 | a>0 | n فرد | |
[math] {(\sqrt[3]{{ – 8}})^3} = -8 [/math] | n=3,=-8 | a<0 |
از جدول بالا نتیجه می گیریم که برای n های فرد [math] {(\sqrt[n]{a})^n} = a[/math] و برای n های زوج فقط زمانی که a>0 است [math] {(\sqrt[n]{a})^n} = a[/math]
قوانین کلی مربوط به ریشه n ام
[math] \sqrt[5]{{20}} = \sqrt[5]{4} \times \sqrt[5]{5}[/math] | [math] \sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}[/math] |
[math] {(\sqrt[4]{{25}})^2} = {(\sqrt[4]{{{5^2}}})^2} = \sqrt[4]{{{{({5^2})}^2}}} = \sqrt[4]{{{5^4}}} = 5[/math] | [math] {(\sqrt[n]{a})^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}}[/math] |
[math] \sqrt[3]{{\frac{{64}}{{27}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{64}}}}{{\sqrt[3]{{27}}}} = \frac{4}{3}[/math] | [math] \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}[/math] |
حاصل ضرب فرجه های چند رادیکال
[math] \sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}[/math]
اثبات این خیلی ساده است و بصورت زیر است:
[math]\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = {(\sqrt[n]{a})^{\frac{1}{m}}} = {({a^{\frac{1}{n}}})^{\frac{1}{m}}} = {a^{\frac{1}{{mn}}}} = \sqrt[{mn}]{a} \\[/math]
مثال :
[math]1)\sqrt[3]{{\sqrt[5]{{{a^2}}}}} = \sqrt[{3 \times 5}]{{{a^2}}} = \sqrt[{15}]{{{a^2}}} \\\\2)\sqrt[3]{{\sqrt[5]{{\sqrt a }}}} = \sqrt[{3 \times 5 \times 2}]{a} = \sqrt[{30}]{a} \\[/math]
خیلی جامع بود…ممنون از سایت خوبتون♡