رفع ابهام صفر صفرم توابع مثلثاتی
برای رفع ابهام حالت صفر صفرم توابع مثلثاتی بطور عمومی ما می توانیم از چهار روش استفاده کنیم .که در این مطلب سه روش آن را آموزش می دهیم و روش چهارم را در مطلبی جداگانه بطور مفصل مورد بحث قرار خواهیم داد . این روشها به ترتیب زیر است :
1-استفاده از فرمولها و اتحادهای مثلثاتی و هم ارزیهای مثلثاتی
3-تغییر متغیر
4-قاعده هوپیتال
قبل از وارد شدن به بحث لازم است تاکید کنم که ما برخی مواقع شاید مجبور باشیم از ترکیب حالتهای فوق حد توابع مثلثاتی را محاسبه کنیم .که این نکته مهمی است که باید همیشه دقت کنید که برای محاسبه حد توابع مثلثاتی دقیقا از چه روش یا ترکیب چند روش باید استفاده کنیم ، حال در این مطلب ما روش 1 تا سه را به همراه مثالهای متعدد حل می کنیم و روش قاعده هوپیتال را در مطلب بعدی بررسی خواهیم کرد .
1-استفاده از فرمولها و اتحادهای مثلثاتی و هم ارزیهای مثلثاتی
اولین روشی که به ذهن ما می رسه همین است ،در واقع با مواجه شدن به حد مبهی که دارای توابع مثلثاتی باشد ، بهتر است ابتدا اتحادها و فرمولهای مثلثاتی را امتحان کنیم و ببینیم آیا از این روش می توان حد را رفع ابهام کرد یا نه ؟ اما اساسی ترین فرمولها و هم ارزیهای مورد نیاز این روش کدام هستند ، در این مطلب سعی می کنم تا آنجایی که امکان دارد اساسی ترین و کاربردی ترین فرمولها و هم ارزیهای مثلثاتی را برای شما ارائه دهیم ، این فرمولها به ترتیب زیر هستند:
[math]1) Sin2x = 2SinxCosx[/math]
حالت دیگر فرمول بالا بصورت زیر هم می تواند باشد :
[math] Sinx = 2Sin\frac{x}{2}Cos\frac{x}{2}[/math]
[math]2) Cos2x = Co{s^2}x – Si{n^2}x[/math]
فرمول بالا را می توان به دو شکل زیر هم نوشت که بستگی به مساله ما دارد که از کدوم روش استفاده کنیم:
[math]Cos2x = 2Co{s^2}x – 1 \\Cos2x = 1 – 2Si{n^2}x \\[/math]
و همچنین
[math]1 – \cos x = 2Si{n^2}\frac{x}{2} \\ 1 + \cos x = 2Co{s^2}\frac{x}{2} \\[/math]
[math]3)\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 – {{\tan }^2}x}} \\ 4)\cot 2x = \frac{{{{\cot }^2}x – 1}}{{2\cot x}} \\ 5)Sina + Sinb = 2Sin\frac{{a + b}}{2}Cos\frac{{a – b}}{2} \\ 6)Sina – Sinb = 2Sin\frac{{a – b}}{2}Cos\frac{{a + b}}{2} \\ 7)Cosa + Cosb = 2Cos\frac{{a + b}}{2}Cos\frac{{a – b}}{2} \\ 8)Cosa – Cosb = – 2Sin\frac{{a + b}}{2}Sin\frac{{a – b}}{2} \\[/math]
فرمولهای بالا بطور کلی پرکاربردترین فرمولهاست ، البته فرمولهای دیگری هم وجود دارد که ما اینجا به آنها اشاره ای نکردیم، حال چند هم ارزی پر کاربرد توابع مثلثاتی وقتی که کمان ما به سمت صفر میل می کند را بررسی می کنیم .
توابع مثلثاتی دو نوع هم ارزی پرکاربرد دارد یکی حاصل آن یک جمله ای است و دیگری حاصل آن دو جمله ای است ، وجه مشترک هر دو هم ارزی اینکه کمان مثلثاتی ما (یعنی متغیر زاویه باید به سمت صفر میل کند )
1-هم ارزی مرتبه اول (یک جمله ای)
این هم ارزیهای برای زمانی که[math] x \to 0[/math] استفاده می شوند که حاصل آن یک جمله است .
هم ارزی درجه اول (یک جمله ای) | تابع |
[math]x[/math] | [math]Sinx[/math] |
[math]x[/math] | [math]ArcSinx[/math] |
[math]x[/math] | [math]tanx[/math] |
[math]x[/math] | [math]Arctanx[/math] |
[math]1[/math] | [math]Cosx[/math] |
دقت کنید که در جدول بالا هر کدام از توابع اگر به توان عددی مانند [math]n[/math] برسند آنگاه هم ارزی آن هم به توان [math]n[/math] خواهد بود.
2-هم ارزی مرتبه دوم (دو جمله ای)
این هم ارزیهای برای زمانی که[math] x \to 0[/math] استفاده می شوند که حاصل آن دو جمله است .
هم ارزی درجه دوم (دو جمله ای) | تابع |
[math] x – \frac{{{x^3}}}{6}[/math] | [math]Sinx[/math] |
[math] x + \frac{{{x^3}}}{6}[/math] | [math]ArcSinx[/math] |
[math] x + \frac{{{x^3}}}{3}[/math] | [math]tanx[/math] |
[math] x – \frac{{{x^3}}}{3}[/math] | [math]Arctanx[/math] |
[math] x – \frac{{{x^2}}}{2}[/math] | [math]Cosx[/math] |
حالت کلی این هم ارزیهای وقتی توابع به توان عددی مانند [math]n[/math] برسند بصورت زیر است .
[math]Si{n^n}u = {u^n} – \frac{n}{6}{u^{n + 2}} \\ {\tan ^n}u = {u^n} – \frac{n}{3}{u^{n + 2}} \\ Co{s^n}u = 1 – \frac{n}{2}{u^2} \\[/math]
تا اینجای کار به هم ارزیها و فرمولهای پر کاربرد مثلثاتی پرداختیم اکنون سعی می کنیم برای فهم بهتر مطلب چند مثالی را با هم مرور می کنیم.
مثال 1: حد توابع مثلثاتی زیر را محاسبه کنید :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – {{\cos }^2}2x}}{{x\sin x}} = ?[/math]
جواب : ابتدا با جایگزاری عدد صفر در کسر بالا به حد صفر صفرم مبهم می رسیم پس باید رفع ابهام کنیم . قبل از حل مسال یادآوری می کنیم که برای حل این مساله از اتحادهای زیر استفاده خواهیم کرد .
[math]1 – \cos x = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} \\ 1 – \cos 2x = 2{\sin ^2}x \\[/math]
حالا با توجه به اتحاد بالا مساله را حل می کنیم . صورت کسر را با استفاده از اتحاد مزدوج ساده می کنیم.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 – {{\cos }^2}2x}}{{x\sin x}} = \frac{0}{0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 – \cos 2x)(1 + \cos 2x)}}{{x\sin x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}x(1 + \cos 2x)}}{{x\sin x}} \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sin x(1 + \cos 2x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \cos 2x) \\[/math]
با توجه به هم ارزی زیر :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1[/math]
خواهیم داشت که :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2 \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} \times \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (1 + \cos 2x) = 2 \times 1 \times 2 = 4[/math]
مثالی دیگر را با هم حل می کنیم در مثال زیر بیشتر از هم ارزیها برای حل استفاده خواهیم کرد .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{\tan 8x}} = ? \\[/math]
جواب :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{\tan 8x}} = \frac{0}{0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x \times \frac{{\sin 4x}}{{4x}}}}{{8x \times \frac{{\tan 8x}}{{8x}}}}[/math]
از هم ارزیهای می دانیم که
[math]\[\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{4x}} = 1 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 8x}}{{8x}} = 1 \\ \end{array} \right\}\][/math]
پس نتیجه بصورت زیر خواهد بود :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 4x}}{{\tan 8x}} = \frac{0}{0} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x \times \frac{{\sin 4x}}{{4x}}}}{{8x \times \frac{{\tan 8x}}{{8x}}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin 4x}}{{4x}}}}{{\frac{{\tan 8x}}{{8x}}}} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}[/math]
مثال 3:حد زیر را حساب کنید.
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos 2x}}[/math]
اگر جایگزاری می کنیم به عبارت صفر بر صفر می رسیم که مبهم است پس باید رفع ابهام کنیم اینجا کافیست با استفاده از اتحادهای مثلثاتی و سپس مخرجرا ساده کنیم ،میتوانیم حد را حساب کنیم
می دانیم که :[math]\cos 2x = {\cos ^2}x – {\sin ^2}x[/math] این اتحاد را در عبارت بالا جایگزاری می کنیم
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{\cos 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}[/math]
اکنون عبارت بالا را ساده می کنیم :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos x – \sin x}}{{(\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)}} = \\\\\frac{1}{{\cos \frac{\pi }{4} – \sin \frac{\pi }{4}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}[/math]
2-قضیه فشردگی :در بخش اول ما اتحادها و هم ارزی ها را بررسی کردیم ،آنچه تا کنون گفتیم این بود که ما می توانیم حد تابع مثلثاتی را با استفاده از اتحادها و هم ارزی ها رفع ابهام کنیم .اما به دلیل اینکه توابع مثلثاتی کرانه دار هستند و در بازه های معینی تعریف شده اند پس در کنار اتحادها و هم ارزی ها می توان از قضیه فشردگی هم برای محاسبه حد توابع مثلثاتی استفاده کرد .
نکته مهمی که در توابع مثلثاتی و قضیه فشردگی کاربرد زیادی دارد بصورت زیر است :
[math] – 1 \le Sinx \le 1 \\ – 1 \le Cosx \le 1 \\ Cosx < \frac{{Sinx}}{x} < 1 \\[/math]
مثال : حد تابع مثلثاتی زیر را محاسبه کنید .
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} – 1)Sin\frac{1}{{x – 1}} = ?[/math]
جواب : مشخص است که با جایگذاری عدد 1 با به حالت صفر صفرم مبهم می رسیم ÷س حد ما مبهم است و باید رفع ابهام کنیم، در اینجا از قضیه فشردگی استفاده می کنیم:
[math] – 1 \le Sin\frac{1}{{x – 1}} \le 1 \Rightarrow – ({x^2} – 1) \le ({x^2} – 1)Sin\frac{1}{{x – 1}} \le ({x^2} – 1) \\ \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} – ({x^2} – 1) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} – 1) = 0 \\ \end{array} \right\} \to \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} – 1)Sin\frac{1}{{x – 1}} = 0 \\[/math]
3-روش تغییر متغیر: در بعی مواقع ما نمی توانیم حد را به همان شکل داده شده محاسبه کنیم ، در واقع ما باید با یک تغییر متغیر مناسب ،حد را به شکلی تغییر دهیم که به روش هایی که قبلا گفتیم ، بتوان آن را محاسبه کرد . معمولا این روش به دو حالت استفاده می شود:
الف)در حد های مثلثاتی زمانی که [math] x \to a[/math] ، آنگاه می توانیم با تغییر متغیر به صورت [math]x-a[/math] و یا [math]a-x[/math] را به عنوان متغیر جدیدی مانند [math]t[/math] در نظر بگیریم که به سمت صفر میل می کند
ب)در حالتهای بی نهایت زمانی که [math] x \to \pm \infty [/math] می توانیم با تغییر متغیر
[math] t = \frac{1}{x}[/math] متغیر [math] t \to 0[/math] را بدست آوریم و بعد از آن حد را محاسبه می کنیم.
مثال: حد زیر را با استفاده از تغییر متغیر حساب کنید
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin (x – a)}}{{{x^2} – {a^2}}} = ?[/math]
جواب:
[math]x – t = a \to x = t + a \\ x \to a \Rightarrow t \to 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin (x – a)}}{{{x^2} – {a^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin (x – a)}}{{(x – a)(x+ a)}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{{(t + a + a)}} \\\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{1}{{t + 2a}}\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sin t}}{t} = \frac{1}{{2a}} \times 1 = \frac{1}{{2a}} \\[/math]
مثال :مقدار [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{2x – \pi }}{{\cos x}}[/math] را بیابید.
با استفاده از تغییر متغیر حل می کنیم پس داریم : [math]t = x – \frac{\pi }{2}[/math] پس اگر x به [math] frac{\pi }{2}[/math] نزدیک شود ،آنگاه t به صفر نزدیک می شود و داریم [math]x = t + \frac{\pi }{2}[/math] پس :
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{2x – \pi }}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2(t + \frac{\pi }{2}) – \pi }}{{\cos (t + \frac{\pi }{2})}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2t}}{{ – \sin t}} = – 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{t}{{\sin t}} = – 2 \times 1 = – 2[/math]
حد توابع مثلثاتی را محاسبه کنید و در صورت نیاز رفع ابهام کنید .
[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4x}}{{\sin 3x}} = ?[/math]
[math]2)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos 3x – \cos x}}{{{x^2}}} = ?[/math]
[math]3)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin ax}}{{\sin bx}} = ?[/math]
[math]4)\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x – \sin x}}{{{x^3}}} = ?[/math]
[math]5)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin (x – a)}}{{{x^2} – {a^2}}} = ?[/math]
[math]6)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\cos (x + \frac{\pi }{4})}}{{\tan x – 1}} = ?[/math]
[math]7)\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} + {x^2} – 2}}{{\sin (x – 1)}} = ?[/math]
[math]8)\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (\sin x – 1){\tan ^2}x = ?[/math]
تمرینات حل شده بخش رفع ابهام صفر صفرم توابع مثلثاتی اینجا را کلیک کنید