رفع ابهام حالتهای غیر از صفر صفرم
آنچه تا کنون در مورد رفع ابهام صحبت کردیم عموما در مورد حالت [math] \frac{0}{0}[/math] است و عمده ترین روشهای رفع ابهام را توضیح دادیم که بصورت زیر بودن :
4-هم ارزی
بنابراین هر حالت مبهم دیگری که پیش می آید باید بر اساس یکی از روشهای فوق حل کنیم ، البته این حالتها عمومی است و ممکن است حالتهای خاصی هم پیش بیاید ، اما بطور کلی اکثر با روشهای فوق حل می شوند.
حالتهای مبهم دیگر که در این پست بررسی خواهیم کرد بصورت زیر است :
1-بی نهایت ضرب در صفر: در حدهای با نوع ابهام [math] 0 \times \infty [/math] می توان با کمی تغییر آن را بصورت[math] \frac{0}{0} [/math] و یا بصورت [math] \frac{\infty }{\infty } [/math] تبدیل کرده و سپس با استفاده از قاعده هوپیتال آن را حل کنیم .
برای مثال فرض می کنیم [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = 0 [/math] و [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = \infty [/math] در این صورت برای محاسبه
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty [/math]
به یکی از صورتهای زیر عمل می کنیم :
[math]1)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{\frac{1}{{g(x)}}}} = \frac{0}{0} \\\\ 2)\mathop {\lim }\limits_{x \to a} (f(x).g(x)) = 0 \times \infty \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{g(x)}}{{\frac{1}{{f(x)}}}} = \frac{\infty }{\infty } \\[/math]
2-در حالت بی نهایت تقسیم بر بی نهایت[math] \frac{\infty }{\infty }[/math] با استفاده از قاعده هوپیتال براحتی رفع ابهام و حل می شود .
3-در حالت بینهایت منهای بی نهایت [math] \infty – \infty [/math] این حالت به 2 بخش تقسیم می شود:
الف)کسری :اگر حد به صورت مبهم [math] \infty – \infty [/math] و کسری باشد برای رفع ابهام ، باید بین مخرج کسرها مخرج مشترک بگیریم و پس از ساده کردن حد واقعی تابع را حساب کنیم.
مثال : حد تابع زیر را محاسبه کنید.
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{1}{x} – \frac{1}{{{x^2}}}) = \infty – \infty [/math]
اکنون بین دو کسر مخرج مشترک می گیریم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (\frac{{x – 1}}{{{x^2}}}) = \frac{{ – 1}}{{{0^ + }}} = – \infty [/math]
ب) حالت رادیکالی : در این حالت باید برای رفع ابهام از گویا کردن استفاده کنیم.
مثال زیر را ببینید:
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 6x} – \sqrt {{x^2} + 4x} ) = \infty – \infty [/math]
اکنون برای گویا کردن کسر در مزدوج عبارت ضرب و تقسیم می کنیم
[math]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (\sqrt {{x^2} + 6x} – \sqrt {{x^2} + 4x} ) \times \frac{{(\sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} )}}{{(\sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + 6x – {x^2} – 4x}}{{(\sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{(\sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} )}}[/math]
حالا اینجا دقت کنید که برای مخرج می توانیم از هم ارزیهای رادیکال در بی نهایت استفاده کنیم قاعده زیر :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{{a{x^n} + b{x^{n – 1}} + ….}} \sim \sqrt[n]{a}|x + \frac{b}{{na}}|[/math]
پس خواهیم داشت که :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{(\sqrt {{x^2} + 6x} + \sqrt {{x^2} + 4x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x}}{{|x| + |x|}} = \frac{{2x}}{{2x}} = 1[/math]
3-رفع ابهام [math] {0^0},{\infty ^0},{0^\infty },{1^\infty }[/math]
اگر داشته باشیم که [math]\lim_{x \to a}f(x)^{g(x)}[/math] و یکی از ابهام های فوق صورت بگیرد ، برای رفع ابهام آن از تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر استفاده می کنیم.
[math]A=f(x)^{g(x)}\rightarrow LnA=Lnf(x)^{g(x)}\rightarrow LnA=g(x)Lnf(x)\rightarrow \lim_{x\to a}LnA=\lim_{x\to a}g(x)Lnf(x)\\[/math]
سپس به حل [math]\lim_{x\to a}g(x)Lnf(x)[/math] می پردازیم ، فرض می کنیم که
[math]\lim_{x\to a}g(x)Lnf(x)=L[/math]
پس داریم :
[math]\lim_{x\to a}LnA=L\rightarrow Ln(\lim_{x\to a}A)=L\rightarrow \lim_{x\to a}A=e^{L}[/math]
نکته : برای رفع ابهام [math]{1^\infty }[/math] از رابطه هم ارزی زیر استفاده می کنیم :
[math]\lim_{x\to a}f(x)^{g(x)}=1^{\infty }\rightarrow e^{lim_{x\to a}g(x)(f(x)-1)}[/math]
مثال حد تابع زیر را محاسبه کنید.
[math]\lim_{x\to 0}(cosx)^{\frac{1}{x^2}}=?\\\lim_{x\to 0}(cosx)^{\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0}e^\frac{1}{x^2}(cosx-1)=e{^\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}(cosx-1)}\\=e^{\frac{-1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}[/math]
خیلی خوب توضیح داده شده بود ممنون