جایگشت r شی از n شی ( ترتیب یا تبدیل)
جایگشت r شی از n شی
ترتیب یا تبدیل
تعداد جایگشتهای [math]r[/math] تایی از [math]n[/math] شیء متمایز یا به عبارتی تعداد انتخاب های [math]r[/math] شیء از بین [math]n[/math] شیء متمایز را که در آنها ترتیب قرار گرفتن مهم باشد ، با [math]p(n,r)[/math] نمایش می دهیم و مقدار آن از دستور زیر محاسبه می شود:
[math] p\left( {n,r} \right) = \frac{{n!}}{{(n – r)!}}[/math]
نکته :در برخی کتابها و منابع به تعداد جایگشتهای [math]r[/math] تایی از [math]n[/math] شیء متمایز را ترتیب یا تبدیل [math]r[/math] تایی از [math]n[/math] شی نیز می نامند.
چگونه ما این فرمول را بدست می آوریم .
ببینید جایگشت [math]r[/math] تایی از [math]n[/math] متمایز را اگر بخواهیم بر حسب همان فرمول جایگشت خطی و اصل ضرب حساب کنیم باید اینگونه فرض کنیم که ما میخواهیم از بین n شی تعداد r شی را انتخاب کنبم و آنها را در یک ردیف بشینیم .خوب روش کار طبق شکل زیر خواهد بود .
مکان اول ما با n شی می تواند پر شود و سپس مکان دوم با n-1 شی و مکان سوم با n-2 شی و به همین ترتیب تا مکان r ام که با n-r+1 شی پر می شود .
بنابر شکل بالا می توانیم بگوییم که جایگشت [math]r[/math] تایی از [math]n[/math] متمایز برابر است با :
[math] n \times (n – 1) \times (n – 2) \times …(n – r + 1)[/math]
رابطه بالا به سادگی با توجه به خصوصیات فاکتوریل می تواند به یک کسر تبدیل شود :
[math]n \times (n – 1) \times (n – 2) \times …(n – r + 1) = \frac{{n \times (n – 1) \times (n – 2) \times … \times 2 \times 1}}{{(n – r) \times (n – r – 1) \times … \times 2 \times 1}} = \frac{{n!}}{{(n – r)!}}\\[/math]
مثال 1: با حروف کلمه Parking ،
الف)چند کلمه هفت حرفی می توان ساخت؟
ب)چند کلمه پنج حرفی می توان ساخت؟
الف) برای پاسخ به قسمت الف خیلی ساده است چون در واقع اینجا یک جایگشت خطی از ما خواسته است ، ما اینجا قراره فقط جابجایی انجام دهیم پس جواب ما در این مرحله [math]7![/math] است.
ب)برای قسمت ب اینجا ما هفت حرف داریم که می خواهیم از آنها 5 حرف را انتخاب و در یک ردیف ترتیب بدیم . طبق روش جایگشت خطی بصورت شکل زیر :
[math] 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520[/math]
حالا همین مساله را به همان فرمولی که گفتیم هم می توان حل کرد یعنی انتخاب 5 شی متمایز از میان 7 شی متمایز :
[math]p\left( {7,5} \right) = \frac{{7!}}{{(7 – 5)!}} = \frac{{7!}}{{2!}} = \frac{{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times \not 2 \times \not 1}}{{\not 2 \times \not 1}} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520[/math]
مثال 2:با عددهای 5و3و2و1 چند عدد سه رقمی با ارقام غیر تکراری می توان ساخت ؟
روش اول با استفاده از مفهوم کلی جایگشت خطی در مکان اول شما فقط 4 رقم می توانید قرار دهید و سپس در مکان دوم فقط سه عدد و سرانجام در مکان سوم 2 عدد پس :
[math] 4 \times 3 \times 2 = 24[/math]
روش دوم یعنی استفاده از همین فرمولی که گفتیم :
[math] p\left( {4,3} \right) = \frac{{4!}}{{(4 – 3)!}} = \frac{{4!}}{{1!}} = 4 \times 3 \times 2 = 24[/math]
مثال 3:چند جایگشت 5 حرفی از حروف کلمه logarithm با حروف l آغاز و با حرف m ختم می شوند ؟
اینجا ما یک جایگشت 5 حرفی داریم که حرف اول و دوم آن داده شده اند .فقط باید حروف دوم وسوم و چهارم را از بین 7 حرف باقیمانده مشخص کنیم .
یعنی انتخاب 3 حرف از بین 7 حرف باقیمانده پس :
[math] p\left( {7,3} \right) = \frac{{7!}}{{(7 – 3)!}} = \frac{{7!}}{{4!}} = 7 \times 6 \times 5 = 210[/math]