توان و ریشه -ریشه چهارم اعداد
ریشه چهارم اعداد
اگر [math] {b^4} = a[/math] در این صورت [math]b,-b[/math] ریشه های چهارم a هستند .
ریشه چهارم هر عدد مانند [math]a[/math] را با نماد [math] \sqrt[4]{a} [/math] نمایش می دهیم .
ریشه چهارم هر عددی هم مثبت و هم منفی می تواند باشد ، با چند مثال توضیح می دهیم :
مثال 1 : ریشه چهارم 16 چه عددی است ؟
از تساویهای بالا نتیجه می گیریم که 2 و منفی 2 ریشه های چهارم عدد 16 هستند .
مثال 2: ریشه چهارم 625 چه عددی است ؟
از تساویهای بالا نتیجه می گیریم که 5 و منفی5 ریشه های چهارم عدد 625 هستند .
نکته : فقط اعداد مثبت ریشه چهارم دارند . مثلا در مثالهای بالا گفتیم که 16 ریشه های چهارم دارد ، اما منفی 16 ریشه چهارم ندارد چون هیچ عددی وجود ندارد که به توان 4 برسد و نتیجه آن منفی 16 باشد.دلیل این کار این است که هر عددی که 4 بار در خودش ضرب شود (به توان 4 برسد) علامتش حتما مثبت می شود .
نتیجه کلی :
هر عدد مثبت دارای دو ریشه چهارم است که قرینه یکدیگرند .
عددهای منفی ریشه چهارم ندارند.
حالا برای فهم بهتر مفهوم ریشه چهارم اعداد چند مثال را با هم حل می کنیم .
مثال 3: ریشه چهارم عدد زیر چگونه محاسبه می شود ؟
[math] \sqrt[4]{{\frac{{80}}{{81}}}} = ?[/math]
طبق خاصیت تقسیم رادیکالها ، عبارت بالا را می توانیم بصورت زیر بنویسیم :
[math] \sqrt[4]{{\frac{{80}}{{81}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{80}}}}{{\sqrt[4]{{81}}}}[/math]
اکنون صورت و مخرج را جداگانه بررسی می کنیم ابتدا صورت کسر بالا را بررسی می کنیم :
حالا در شکل بالا ببینید که چگونه عدد 80 را تجزیه و تفکیک کردیم .
با توجه به شکل بالا عدد 80 حاصلضرب عددهای مشخص شده در دایره های قرمز بالا است و بصورت زیر است :
[math] 80 = {2^4} \times 5[/math]
حالا نوبت مخرج کسر است عدد 81 را باید تجزیه کنیم :
[math] 81 = {9^2} = {({3^2})^2} = {3^4}[/math]
پس با توجه به محاسبات بالا کسر ما بصورت زیر خواهد شد :
[math]\frac{{\sqrt[4]{{80}}}}{{\sqrt[4]{{81}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{{2^4} \times 5}}}}{{\sqrt[4]{{{3^4}}}}} = \frac{{\sqrt[4]{{{2^4}}} \times \sqrt[4]{5}}}{{\sqrt[4]{{{3^4}}}}} = \frac{{2\sqrt[4]{5}}}{3} \\[/math]
مثال 4:ریشه چهارم عدد 9 را بدست آورید ؟
[math]\sqrt[4]{9} = ? \\\sqrt[4]{9} = X \Leftrightarrow x \times x \times x \times x = 9 \\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 \times \sqrt 3 = 3 \\\sqrt 3 \times \sqrt 3 = 3 \\\end{array} \right\} \to \sqrt 3 \times \sqrt 3 \times \sqrt 3 \times \sqrt 3 = 3 \times 3 = 9 \\\sqrt[4]{9} = \sqrt[4]{{{3^2}}} \Rightarrow \sqrt[2]{3} = \sqrt 3 \\[/math]
مثال 5: ریشه چهارم عبارت زیر را حساب کنید .
[math] \sqrt[4]{{{x^{14}}}} = ?[/math]
عبارت بالا یعنی x را 14 بار در خودش ضرب می کنیم بصورت زیر :
[math] \sqrt[4]{{x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x.x}} = [/math]
حالا باید 4 تا 4 تا جدا کنیم :
می دانیم که :
[math] \sqrt[4]{{{x^4}}} = x[/math]
پس خواهیم داشت که :
[math]\sqrt[4]{{{x^4}.{x^4}.{x^4}.{x^2}}} = \sqrt[4]{{{x^4}}} \times \sqrt[4]{{{x^4}}} \times \sqrt[4]{{{x^4}}} \times \sqrt[4]{{{x^2}}} = x.x.x.\sqrt[4]{{{x^2}}}= \\{x^3}\sqrt[4]{{{x^2}}} \\[/math]