تمرینات و سوال های حل شده معادله درجه دوم
1-معادله زیر رابه روش فرمول کلی حل کنید.
[math] 12{x^2} – x – 1 = 0[/math]
ابتدا دلتا را محاسبه می کنیم، می دانیم که طبق فرم معادله درجه دوم مقادیر
[math] a = 12,b = – 1,c = – 1[/math]
اکنون داریم که :
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 1)^2} – 4(12)( – 1) = 1 + 48 = 49 \\ [/math]
چون دلتا بزرگتر از صفر است پس معادله ما دارای دو ریشه حقیقی است .
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{1 + \sqrt {49} }}{{2 \times 12}} = \frac{{1 + 7}}{{24}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3} \\{x_1} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{1 – \sqrt {49} }}{{2 \times 12}} = \frac{{1 – 7}}{{24}} = \frac{{ – 6}}{{24}} = – \frac{1}{4} \\[/math]
2-معادله مقابل را به روش مربع کامل کردن حل کنید.
[math] {x^2} – 6x + 5 = 0 [/math]
برای حل این مساله ابتدا عدد ثابت را به طرف دوم می بریم و به طرفین مقداری مناسب اضافه کنیم و سپس تبدیل کنیم به مربع کامل به هر دو طرف عدد 9 را اضافه می کنیم چون نصف عدد منفی 6 برابر 3 است پس مربع 3 برابر 9 خواهد بود و به هر دو طرف اضافه می کنیم:
[math]{x^2} – 6x = – 5 \\{x^2} – 6x + 9 = – 5 + 9 \\{(x – 3)^2} = 4 \to x – 3 = \pm 2 \to \left\{ \begin{array}{l}x – 3 = – 2 \to x = 3 – 2 = 1 \\x – 3 = 2 \to x = 3 + 2 = 5 \\\end{array} \right\} \\[/math]
3-ریشه های معادله زیر را بدست آورید :
[math] 4{x^3} – x = 0[/math]
برای حل این معادله ابتدا باید فاکتور گیری کنیم و سپس معادله درجه دوم بدست امده را حل کنیم:
[math] x(4{x^2} – 1) = 0[/math]
اکنون عبارت [math] 4{x^2} – 1)[/math] که یک معادله درجه دوم است را می توانیم با استفاده از روش تجزیه و با کمک تجزیه اتحاد مزدوج حل کنیم.
[math]x(4{x^2} – 1) = 0 \to x(2x – 1)(2x + 1) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}x = 0 \\2x – 1 = 0 \to 2x = 1 \to x = \frac{1}{2} \\2x + 1 = 0 \to 2x = – 1 \to x = – \frac{1}{2} \\\end{array} \right\} \\[/math]
4-معادلات زیر را به روش کلی حل کنید.
[math] 1){x^2} + 2\sqrt 3 x – 9 = 0[/math]
ابتدا دلتا را حساب می کنیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a = 1 \\b = 2\sqrt 3 \\c = – 9 \\\end{array} \right\} \to \left\{ {\Delta = {b^2} – 4ac = {{(2\sqrt 3 )}^2} – 4(1)( – 9) = 12 + 36 = 48} \right\}[/math]
دلتا بزرگتر از صفر است پس معادله دارای دو جواب حقیقی است:
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 2\sqrt 3 + \sqrt {48} }}{2} = \frac{{ – 2\sqrt 3 + 4\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \\\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 2\sqrt 3 – \sqrt {48} }}{2} = \frac{{ – 2\sqrt 3 – 4\sqrt 3 }}{2} = – 3\sqrt 3 \\[/math]
[math] 2)\frac{{{x^2}}}{3} – \frac{x}{2} – \frac{3}{2} = 0[/math]
من در این معادله برای سادگی ابتدا معادله را در عدد 6 ضرب می کنم تا مخرج ها حذف شوند :
[math]\frac{{{x^2}}}{3} – \frac{x}{2} – \frac{3}{2} = 0 \to 2{x^2} – 3x – 9 = 0 \\\left\{ \begin{array}{l}a = 2 \\b = – 3 \\c = – 9 \\\end{array} \right\} \to \left\{ {\Delta = {b^2} – 4ac \to \Delta = {{( – 3)}^2} – 4(2)( – 9) = 9 + 72 = 81} \right\} \\\\{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 + \sqrt {81} }}{4} = \frac{{3 + 9}}{4} = 3 \\\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{3 – \sqrt {81} }}{4} = \frac{{3 – 9}}{4} = – \frac{6}{4} = – \frac{3}{2} \\[/math]
5-مجموع مربعات دو عدد فرد متوالی 290 است .این دو عدد را پیدا کنید.
می دانیم که فاصله هر دو عدد متوالی برابر دو واحد است مثلا عدد 3 فرد است و عدد فرد بعدی 5 است پس فاصله بین این دو عدد 2 واحد است با این حساب اگر عدد اول را x در نظر بگیریم عدد فرد بعدی برابر با x+2 خواهد بود . از طرف دیگر می دانیم طبق مساله مجموع مربعات اینها برابر 290 است پس :
[math] {x^2} + {(x + 2)^2} = 290 \\{x^2} + {x^2} + 4x + 4 = 290 \to 2{x^2} + 4x – 286 = 0 [/math]
اکنون به یک معادله درجه دوم رسیدیم که باید با استفاده از روش حل معادله درجه دوم ، جواب معادله را بدست آوریم.دقت کنید که در گام اول براحتی میتوان از 2 فاکتور گرفت
[math] 2{x^2} + 2x – 286 = 0 \to {x^2} + 2x – 143 = 0[/math]
اکنون این معادله را می توان براحتی با استفاده از روش تجزیه و اتحاد جمله مشترک حل کرد:
[math]{x^2} + 2x – 143 = 0 \to (x + 13)(x – 11) = 0 \\\\x + 13 = 0 \to x = – 13 \\x – 11 = 0 \to x = 11 \\[/math]
6-معادله درجه دوم زیر را به سه روش مربع کامل،تجزیه و دلتا حل کنید :
[math] 3{x^2} + x – 4 = 0[/math]
روش مربع کامل :ابتدا باید ضریب [math] x^2[/math] را به یک تبدیل کنیم برای این کار معادله را تقسیم بر سه می کنیم و پس از آن جملاتی که دارای متغیر یک طرف و عدد ثابت را طرف دیگر تساوی قرار می دهیم :
[math] 3{x^2} + x – 4 = 0 \to {x^2} + \frac{1}{3}x – \frac{4}{3} = 0 \to {x^2} + \frac{1}{3}x = \frac{4}{3} \\[/math]
اکنون می خواهیم مربع کنیم پس در گام دوم عدد
[math] {(\frac{{\frac{1}{3}}}{2})^2} = {(\frac{1}{6})^2} = \frac{1}{{36}}[/math] را به هر دو طرف تساوی اضافه می کنیم:
[math]{x^2} + \frac{1}{3}x + \frac{1}{{36}} = \frac{4}{3} + \frac{1}{{36}} \to {(x + \frac{1}{6})^2} = \frac{{48 + 1}}{{36}} \\\\{(x + \frac{1}{6})^2} = \frac{{49}}{{36}} \to \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{1}{6} =\frac{7}{6} \to x = \frac{7}{6} – \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \\x + \frac{1}{6} = – \frac{7}{6}x = – \frac{7}{6} + \frac{1}{6} = – \frac{8}{6} = – \frac{4}{3} \\\end{array} \right\} \\[/math]
روش تجزیه :ابتدا ضریب [math]x^2[/math] را مجذور کامل می کنیم برای این کار معادله را در عدد 3 ضرب می کنیم و سپس تجزیه توسط اتحاد جمله مشترک انجام می دهیم :
[math]3{x^2} + x – 4 = 0 \to 9{x^2} + 3x – 12 = 0 \to {(3x)^2} + (3x) – 12 = 0 \\\\(3x + 4)(3x – 3) = 0 \to \left\{ \begin{array}{l}3x – 3 = 0 \to 3x = 3 \Rightarrow x = 1 \\3x + 4 = 0 \to 3x = – 4 \Rightarrow x = – \frac{4}{3} \\\end{array} \right\} \\[/math]
روش دلتا :معادله به صورت [math] 3{x^2} + x – 4 = 0[/math] .که در آن [math]a=3,b=1,c=-4[/math] است.و در نتیجه مقدار دلتا بدست می اوریم :
[math] \Delta = {b^2} – 4ac = {(1)^2} – 4(3)( – 4) = 1 + 48 = 49[/math]
چون دلتا بزرگتر از صفر است پس معادله دارای دو ریشه حقیقی است:
[math]{x_1} = \frac{{ – b + \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 + \sqrt {49} }}{{2(3)}} = \frac{6}{6} = 1 \\\\{x_2} = \frac{{ – b – \sqrt \Delta }}{{2a}} = \frac{{ – 1 + \sqrt {49} }}{{2(3)}} = \frac{{ – 8}}{6} = – \frac{4}{3}[/math]
7-مقدار m چقدر باشد تا معادله [math]2{x^2} – 3x – 2m + 1 = 0[/math] تنها دارای یک ریشه باشد؟
در روش دلتا گفتیم هر و وقت در معادله درجه دوم مقدار دلتا برابر صفر باشد یعنی معادله دارای یک ریشه مضاعف است .
پس اینجا باید با استفاده از روش دلتا و خود دلتا را برابر صفر قرار دهیم :
[math]\left\{ \begin{array}{l}a = 2 \\b = – 3 \\c = – 2m + 1 \\\end{array} \right\} \to \Delta = {b^2} – 4ac = {( – 3)^2} – 4(2)( – 2m + 1) = 0 \to \\\\9 + 16m + 8 = 0 \to 16m = – 1 \to m = – \frac{1}{{16}} \\[/math]