تابع قدر مطلق
تابع قدر مطلق
من قبل از اینکه وارد این مبحث شوم توصیه می کنم حتما مباحث زیر را مطالعه کنید.
2-معادلات و عبارات جبری قدر مطلق
تعریف :فرض کنید که x عددی حقیقی باشد ،قدر مطلق آن را به صورت [math]|x|[/math] نمایش می دهیم .
در واقع تابعی که به هر عضو دامنه ،قدر مطلق آن را نظیر کند، تابع قدر مطلق نامیده می شود، و به صورت زیر نمایش می دهیم :
[math]|x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{x \ge 0}\\{ – x}&{x < 0}\end{array}} \right\}[/math]
اگر دقت کنید تابع قدر مطلق ،نوعی خاص از یک تابع چند ضابطه ای است ، توصیه می کنم حتما مطلب زیر را در مورد توابع چند ضابطه ای مطالعه کنید.
خصوصیات تابع قدر مطلق
1-از آنجایی که تابع قدر مطلق ،ذاتا یک تابع چند ضابطه ای است پس اشتراک دامنه ضابطه های آن تهی است .
2-دامنه آن مجموعه ای از اعداد حقیقی است .
3-برد این تابع مجموعه [math] \left\{ {y|y \ge 0} \right\} [/math] می باشد.
4-تابع در بازه [math] ( – \infty ,0) [/math] نزولی است و در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] صعودی است.
پس نتیجه کلی این است که در قدر مطلق (Absolute Value) هر عددی حقیقی ،مقدار عددی آن بدون در نظر گرفتن علامتش است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است یعنی یا مثبت است یا صفر، به بیان دیگر، قدرمطلق یک عدد برابر است با فاصله آن عدد تا صفر است.
نکته : اگر جایی دیدید که حاصل قدر مطلق هر چیزی برابر یه عدد منفی یا عبارت منفی باشد حتما آن رابطه نادرست است و معادله جواب ندارد .
تساوی های قدر مطلق
توضیح | مثال | خاصیت |
[math]|1-x|=|x-1|[/math] | [math]|x|=|-x|[/math] | |
خاصیت جابجایی در قدر مطلق | [math]|3-5|=|5-3|[/math] | [math]|x-y|=|y-x|[/math] |
[math]\sqrt {{x^2} – 2x + 1} = \sqrt {{{(x – 1)}^2}} = |x – 1|[/math] | [math] \sqrt {{x^2}} = |x|[/math] | |
[math]|-2*5|=|-2|*|5|[/math] | [math]|ab|=|a||b|[/math] | |
به شرط آنکه مخرج برابر صفر نباشد | [math]|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}[/math] | |
[math] |x| = a \Leftrightarrow x = \pm a[/math] |
نامساویهای قدر مطلق
نامساوی معادل | شکل معادله | نامساوی |
[math] {x^2} < {a^2}[/math] | [math]-a<x<a[/math] | [math]|x|<a[/math] |
[math] {x^2} \le {a^2}[/math] | [math] – a \le x \le a[/math] | [math] |x| \le a[/math] |
[math] {x^2} > {a^2}[/math] | [math]x<-a[/math]یا[math]x>a[/math] | [math]|x|>a[/math] |
[math] {x^2} \ge {a^2}[/math] | [math] x \ge a[/math]یا[math] x \le – a[/math] | [math] |x| \ge a[/math] |
[math] |x + y| \le |x| + |y|[/math] | ||
[math] – x \le |x| \le x[/math] |
رسم نمودار توابع قدر مطلق
در حالت کلی ، برای رسم نمودار توابع شامل قدر مطلق می توان به کمک تعیین علامت عبارات درون قدر مطلق ها ،تابع مفروض را به یک تابع چند ضابطه ای تبدیل کنیم و سپس نمودار هر ضابطه را روی دامنه مربوط به آن رسم می کنیم .
مثال 1:نمودار تابع [math]y=|x|[/math] را رسم کنید .
ابتدا عبارت درون قدر مطلق را تعیین علامت می کنیم .
[math]f(x) = |x| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{x \ge 0}\\{ – x}&{x < 0}\end{array}} \right\}[/math]
یعنی در بازه [math] ( – \infty ,0) [/math] که [math] x \le 0 [/math] داریم :
[math] f(x) = |x| \Rightarrow y = |x| \Rightarrow y = – x[/math]
نمودار این ضابطه تابع بصورت زیر خواهد بود
همانطور که در نمودار بالا می بینیم خط نارنجی رنگ نشان دهنده این ضابطه است . چون ضابطه ما فقط به ازای [math] x \le 0 [/math] بود ، اکنون باید ضابطه بعدی تابع را نیز بدست آوریم .
ضابطه بعدی در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] می باشد یعنی [math] x > 0 [/math] داریم :
[math] f(x) = |x| \Rightarrow y = |x| \Rightarrow y = x[/math]
حال به سادگی نمودار تابع داده شده رسم می شود.
همانطور که در نمودار بالا می بینیم خط آبی رنگ نشان دهنده این ضابطه است . چون ضابطه ما فقط به ازای [math] x >0 [/math] بود ، اکنون نمودار تابع ما کامل شد . تلفیق دو خط بالا در واقع همان نمودار تابع [math]f(x)=|x|[/math] می باشد .
مثال 2:نمودار تابع [math]f(x)=x+|x|[/math] را رسم کنید .
یعنی در بازه [math] ( – \infty ,0) [/math] که [math] x \le 0 [/math] داریم :
[math] f(x) = |x| \Rightarrow y =x+ |x| \Rightarrow y = x- x=0[/math]
نمودار این ضابطه تابع بصورت زیر خواهد بود
ضابطه بعدی در بازه [math] (0, + \infty ) [/math] می باشد یعنی [math] x > 0 [/math] داریم :
[math] f(x) =x+ |x| \Rightarrow y = x+|x| \Rightarrow y =x+ x=2x[/math]
حال به سادگی نمودار تابع داده شده رسم می شود.
اکنون نمودار تابع ما کامل شد . تلفیق دو خط بالا در واقع همان نمودار تابع [math]f(x)=x+|x|[/math] می باشد .
روش کلی برای رسم نمودار تابع قدر مطلق عموما ،با استفاده از تعیین علامت است اما روشها سریعتر و خلاصه تر دیگری نیز وجود دارند که در مطلب بعدی به صورت مفصل به آنها می پردازیم.
خوب
سلام وقت شما بخیر
جدول تساوی های قدر مطلق -سمت چپ جدول مشخص نیست ممنون میشم مجدد قرار بدهید
با تشکر فراوان