تابع بخش پنجم -تابع معکوس یا تابع وارون
تابع معکوس یا تابع وارون پذیر
درریاضیات می دانیم که اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد آنگاه سوالی که مطرح می شود آن است آیا ما می توانیم برای این تابع یک رابطه معکوس پیدا کنیم و سوال دیگر تحت چه شرایط تابع ما معکوس پذیر است .آیا معکوس تابع ما نیز یک تابع است ؟
شرط معکوسپذیری
برای اینکه تابع ما معکوس پذیر باشد باید در شرایط زیر صدق کند ، اگر [math] f:A \to B[/math]
باشد آنگاه :
1-تابع f باید یک به یک باشد .اگر تابع یک به یک نباشد معکوس پذیر نمی باشد.
2-دامنه تابع معکوس برابر است با برد تابع اصلی و برد تابع معکوس برابر است با دامنه تابع اصلی
پس می توان گفت که هر گاه f تابعی باشد از مجموعه A به مجموعه B و این تابع یک به یک باشد این تابع معکوس پذیر است و معکوس این تابع را باعلامت نمایش می دهیم
تعریف تابع معکوس از دیدگاه زوج مرتب :هر گاه f تابعی به صورت زوج مرتب باشد ،برای بدست آوردن تابع معکوس آن کافیست جای مولفه های اول و دوم را عوض کنیم :
[math] {f^{ – 1}} = \{ (y,x)|(x,y) \in f\} [/math]
مثال1 : [math] f = \{ (a,3),(b,1),(c,2)\} [/math] تابع معکوس ان بصورت زیر است :
[math] {f^{ – 1}} = \{ (3,a),(1,b),(2,c)\} [/math]
تعریف تابع معکوس از دیدگاه نمودار ون : در این حالت کافیست جهت پیکانها را عوض کنیم اکنون اگر تابع و معکوس آن را بصورت نمودار ون نمایش دهیم بصورت زیر خواهد بود ، حال باید جهت پیکانها را عوض کنیم.
تعریف تابع معکوس از دیدگاه ضابطه ریاضی : اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد و این تابع یک به یک باشد ،آنگا می گوییم تابع معکوس پذیر است .
برای بدست آوردن ضابطه تابع معکوس ، تابع را بر حسب متغیر y بدست آوریم تا تابع معکوس بدست آید .و سپس جای متغیر x,y را جابجا می کنیم.شکل زیر نشان دهنده ترتیب عملیات است
مثال 1: معکوس تابع [math] f(x) = {x^2} + 1,x \ge 0 [/math] را بدست آورید .
[math] f(x) = {x^2} + 1,x \ge 0 [/math] |
تابع اصلی |
[math]y = {x^2} + 1 \\ y – 1 = {x^2} \\ \pm \sqrt {y – 1} = x \\ \sqrt {y – 1} = x [/math] |
تابع را بر حسب متغیر y حل می کنیم |
[math] y = \sqrt {x – 1} ,x \ge 1 [/math] |
این ضابطه تابع معکوس است |
اکنون یک راه حلی عمومی برای برخی از توابع ساده مطرح می کنیم که چگونه می توان برای این توابع معکوس را بدست آورد ، اما قبل از آن لازم است که معکوس هر عملگری را بدانید مثلا معکوس ضرب ،عمل تقسیم است و بقیه عملگرها در جدول زیر آمده است :
نوع عمل ریاضی | معکوس آن | شرایط قابل قبول |
+ | – | |
ضرب | تقسیم | به شرط آنکه تقسیم بر صفر نباشد |
[math] \frac{1}{x}[/math] | [math] \frac{1}{y}[/math] | x,y نباید برابر صفر شوند |
[math] {x^2}[/math] | [math] \sqrt y [/math] | |
[math] {x^n}[/math] | [math] \sqrt[n]{y}[/math] | |
[math] {e^x}[/math] | [math]ln(y)[/math] | y>0 |
[math] {a^x}[/math] | [math] \log _a^{(y)}[/math] | a,y>0 |
[math]\sin(x)[/math] | [math] {\sin ^{ – 1}}(y)[/math] | |
[math]\cos(x)[/math] | [math] {\cos ^{ – 1}}(y)[/math] | |
[math]\tan(x)[/math] | [math] {\tan^{ – 1}}(y)[/math] |
خوب اکنون که ما جدول بالا و انواع معکوسهای آن را فهمیدیم الان با حل چند مثال روش کاربردی جدیدی رانشان می دهیم
مثال 1: معکوس تابع [math]f(x)=3x+2[/math] را بدست آورید .
همانطور که می بینید تابع ابتدا عدد 3 را در [math]x[/math] ضرب کرده و حاصل آن را با عدد 2 جمع می کند
حالا طبق جدول معکوسها ، عملیات فوق را برعکس می کنیم یعنی ابتدا x را منهای 2 می کنیم و حاصل آن را بر عدد 3 تقسیم می کنیم در واقع معکوس عمل جمع (+2) به تفریق تبدیل می شود و معکوس ضرب 3 (*3) به تقسیم تبدیل می شود .
پس طبق محاسبات بالا معکوس تابع ما بصورت زیر بدست می آید .
[math] {f^{ – 1}}(x) = \frac{{x – 2}}{3}[/math]
مثال 2:معکوس تابع با ضابطه [math] f(x) = – {x^3} + 7[/math] را طبق جدول معکوسها بدست آورید
همانطور که می بینیم در این تابع ابتدا متغیر x به توان 3 می رسد و سپس در عدد منفی یک ضرب می شود و نهایتا با عدد 7 جمع می گردد
و حالا نوبت به محاسبه معکوس تابع هست که باید تمام اعمال فوق معکوس گردند مانند زیر
پس ضابطع معکوس تابع ما بصورت زیر خواهد بود
[math] {f^{ – 1}}(x) = \sqrt[3]{{7 – x}}[/math]
انچه که تاکنون توضیح دادیم 2 روش عمده و عمومی برای محاسبه معکوس توابع است که در اکثر حالتها کاربردی می باشد و بستگی به پیچیدگی مساله شما می توانید هر کدام از این 2 روش را انتخاب کنید .
نکات مهم تابع معکوس
1-دقت کنید که [math] \frac{1}{f},{f^{ – 1}}[/math] با هم برابر نیستند و
[math] \frac{1}{f} \ne {f^{ – 1}}[/math]
2-اگر تابع f در یک فاصله اکیدا یکنوا (صعودی یا نزولی) باشد ،در نتیجه روی آن فاصله یک به یک است پس در آن فاصله معکوس پذیر است.
3-فرض کنیم نمودار تابع f را بصورت زیر داشته باشیم و نقاط [math](x,f(x))[/math] روی این نمودار باشند.
می دانیم که در تابع معکوس جای زوجهای مرتب با هم عوض می شود پس اگر [math](x,f(x))[/math] روی نمودار تابع f باشد آنگاه نقطه معکوس یعنی [math](f(x),x))[/math] روی نمودار معکوس تابع یعنی [math] {f^{ – 1}}[/math] خواهد بود مطابق شکل زیر
پس نتیجه می گیریم که نمودار تابع [math] {f^{ – 1}},f[/math] نسبت به خط [math]y=x[/math] متقارن هستند .
4-یک تابع چند ضابطه ای معکوس پذیر است اگر و تنها اگر
الف: هر یک از ضابطه های آن در دامنه خود معکوس پذیر باشد
ب:اشتراک برد ضابطه ها برابر تهی باشد
نمونه سوالات امتحانی و تست های کنکور
1-ضابطه وارون تابع [math] f(x) = \sqrt {2x + 3} [/math] را بدست آورید.(امتحان نهایی حسابان-دی ماه 93)
2-وارون پذیری تابع زیر را بررسی کنید و در صورت وارون پذیر بودن تابع ،ضابطه وارون آن را به دست آورید.)امتحان نهایی حسابان-شهریور 92)
[math] f(x) = \sqrt {x + 3} – 5 [/math]
3-اگر [math]f(x)=4x-3[/math] و [math]g(x)=x+2[/math] تابع [math] {(gof)^{ – 1}} [/math] را حساب کنید .(امتحان نهایی حسابان –شهریور 90)
4-ثابت کنید تابع [math] f(x) = {(x – 2)^2},x \ge 2 [/math] وارون پذیر است سپس ضابطه وارون آن را بنویسید.(امتحان نهایی حسابان –خرداد 91)
5-[math]f[/math] تابعی یک به یک است و [math] {f^{ – 1}}[/math] معکوس [math]f[/math] است ،اگر تابع [math]h[/math] تابعی معکوس پذیر باشد ، ضابطه تابع معکوس [math]h(x)=1-2f(2-3x)[/math] را بیابید.
6-ضابطه معکوس تابع [math] y = 2 – \sqrt {x – 1} [/math] به کدام صورت است ؟(کنکور سراسری 92-رشته تجربی)
[math]1-y = {x^2} – 4x + 5,x \le 2 \\2- y = {x^2} + 4x – 5,x \le 2 \\3- y = {x^2} – 4x + 5,x \ge 1 \\4- y = – {x^2} + 4x – 5,x \ge 1 \\[/math]
7-تابع [math] f(x) = {x^2} + 2x + 1 [/math] با دامنه [math] ( – 1, + \infty ) [/math] مفروض است ،نمودارها دو تابع [math]f, {f^{ – 1}}[/math] در چند نقطه متقاطع هستند ؟(کنکور سراسری 92-رشته ریاضی)
1)1 2)2 3)3 4)غیر متقاطع
8-اگر [math] f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}[/math] باشد ، ضابطه [math]f^{-1}(\sin x) [/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری 90-رشته ریاضی)
1)[math]tanx[/math]
2)[math]cotx[/math]
3)[math]\frac{|\cos x|}{sinx} [/math]
4)[math]\frac{|sinx|}{|\cos x|} [/math]
عاغا خیلی ممنون بازبون ساده وباتصویر خیلی خوب توضیح دادی هر چند ک من از ریاضی متنفرم و هیچی ازش سر در نمیارم ولی وا3 تحقیقم استفاده کردم ومنبع رو هم ذکر کردم خیلی مخی مخسی
با تشکر از شما
دم شما گرم
اقا دمت گولی – ناز شصتتو عشقست با مرام
عاقا ممنون خوب بود ولی هیچی از ترکیب توابع نگفتین که یکی از شروط اصلی محسوب میشه
با سلام و تشکر
هفته آینده مطلب مفصلی در مورد ترکیب توابع خواهم نوشت
خوب بود ممنون بووووووس
عالی بود
بنازمت محشر بود مشکلمو حل کرد افرین ممنون
واقعا دستتان درد نکنه.لطف کردید
دَس مَریزاد داآش
قَبلنا یُخده گیر داشتیم ولی اَلا بکُلی افتاد رو مُخِمون،زنده باشی پهلون
ساده مفید مختصر
ممنون
واقعاعالی است برای کسی که مطالب رافراموش کرده است باتشکر
با سلام اگه میشه معکوس تابع ایکس به علاوه ی رادیکال ایکس رو هم بزارین
جزوه اموزش تابع را از منوی بالا ببینید