بسته آموزشی انتگرال
[math]\int e^xdx=e^x+c[/math] همچنین انتگرال تابع نمایی در حالت کلی بصورت زیر است [math]\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c[/math] مثال : انتگرال زیر را حل کنید [math]\int 5e^xdx=5\int e^xdx=5e^x+c[/math] علاوه بر این فهمیدیم که مشتق تابع لگاریتم طبیعی [math]\ln x[/math] برابر است با [math]\frac{1}{x}[/math] پس انتگرال تابع لگاریتم طبیعی بصورت زیر خواهد بود . [math]\int \ln xdx=x(\ln x)-x+c[/math] و همچنین می داینم که [math]\int \frac{1}{x}dx=\ln x+c[/math] ترکیب انتگرال تابع نماییو تابع لگاریتمی برای حل انتگرال پیشرفته و پیچیده کمک فراوانی به ما می کند ، مخصوصا بعدها در معادلات دیفرانسیل متوجه این مطلب خواهمی شد که چقدر تابع [math]\ln x[/math] و [math]e^x[/math] ما را در حل معادلات کمک می کند . مثال : انتگرال [math]\int 2^xe^xdx[/math] را حل کنید [math]\int 2^xe^xdx=\int (2e)^xdx=\left ( \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+c\right )\Rightarrow \frac{(2e)^x}{\ln(2e)}+c=\frac{^xe^x}{\ln 2+\ln e}[/math] معمولا این روش برای محاسبه انتگراهای ضرب دوتابع بکار می رود ،دو تابعی که هر کدام از جنس مختلفی می باشد ،مثلا ضرب یک چند جمله ای در یک تابع مثلثاتی و …چند نمونه از این حالتها را در زیر مشاهده کنید: \[\begin{array}{l} \int {x\sin xdx} \\ \int {x{e^x}} dx \\ \int {{e^{2x}}} \cos xdx \\ \end{array}\] در این روش که مبتنی بر ضرب دوتابع است ،ما با استفاده از ((قاعده مشتقگیری ضرب دوتابع )) انتگرال را بدست می آوریم .پس همانطور که از بخش مشتق می دانیم ضرب دو تابع و عمل مشتق گیری آنها بصورت زیر است : \[(uv)’ = uv’ + u’v\] حالا اگر از معادله فوق بخواهیم انتگرال بگیریم بصورت زیر خوهد بود \[\begin{array}{l} \int {} (uv)’ = \int {uv’dx + \int {u’vdx} } \\ uv = \int {uv’dx + \int {u’vdx} } \\ \int {uv’dx = uv – \int {u’vdx} } \\ \int {udv = uv – \int {vdu} } \\ \end{array}\] پس نتیجه می گیریم که فرم کلی انتگرال گیری جزء به جزء بصورت زیر خواهد بود : \[\begin{array}{l} \int {udv = uv – \int {vdu} } \\ \end{array}\] مثال 1:انتگرال زیر را حساب کنید [math]\int x\sin2xdx [/math] ببینید برای حل انتگرال ها شما با این سوال مواجه می شوید که کدام تابع فوق را v و کدام را معادل u قرار دهیم ما اینجا قانون ثابتی نداریم . اما یک قانون کلی داریم u را معمولا برابر تابعی قرار می دهیم که dx ما براحتی با du جایگزین شود و محاسبه انتگرال ما هم ساده تر بشود علاوه بر این محاسبه انتگرال تابع v هم ساده شود . پس در واقع به انتخاب شما و ابتکار شما نیاز دارد که تشخیص دهید چگونه توابع را جایگزین کنید. اکنون سعی می کنیم قدم به قدم مثال بالا را حل کنیم : قدم اول : تشخیص تابع u و تابع دیگر به همراه dx که برابر با dv خواهد بود . [math] u=x \Rightarrow du=dx [/math] [math] dv = \sin 2xdx [/math] قدم دوم : از u دیفرانسیل می گیریم تا du بدست آید و از dv انتگرال می گیریم تا v بدست آوریم . [math] u=x \Rightarrow du=dx [/math] [math] dv = \sin 2xdx \Rightarrow v = \int {\sin 2xdx = } – \cos 2x [/math] قدم سوم : عبارتهای فوق را در فرمول انتگرال گیری جزء به جزء قرار می دهیم و حاصل انتگرال را بدست می آوریم : [math] =\frac{-x\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\int \cos 2xdx [/math] روش انتگرال گیری جانشانی یا تغییر متغیر هر گاه در انتگرال با عبارتی مواجه شدیم که بصورت یک تابع مرکب و یک مشتق از پارامتر آن باشد ،می توان از این روش استفاده کرد .بصورت زیر: از عبارت بالا این را می فهمیم که در این روش تابع [math]f(x)[/math] اینجا همان تابعی خواهد بود که باید از آن مشتق گرفته شود و اما تابع [math]g(x)[/math] تابعی است که بصورت پارامتر تابع [math]f(x)[/math] و علاوه براین مشتق تابع [math]g(x)[/math] هم وجود دارد پس آنچه باید تغییر پیدا کند همان تابع [math]g(x)[/math] است .مثال پایین را ببینید : ببینید در مثال بالا تابع [math]f(x)=cos[/math] و تابع [math]g(x)[/math] برابر است با [math]x^2[/math] که مشتق آن برابر با [math]2x[/math] می باشد پس الان فهمیدم که چگونه این توابع تفکیک می شوند و چه ارتباطی با هم دارند پس حالت کلی انتگرال بصورت زیر خواهد شد: الان مثال بالا را با همان روش انتگرال جانشانی حل می کنیم تا مطلب را بهتر متوجه شویم : [math]\int \cos u du=\sin u+c[/math] و چون [math]u=x^2[/math] پس خواهیم داشت که : [math] \sin (x^2) +c[/math] اکنون که روش انتگرال گیری جانشانی و مفهوم آن را فرا گرفتیم برای فهم بهتر مطلب دو مثال را با هم حل می کنیم تا بهتر متوجه مطلب بشوید مثال 1: انتگرال [math]\int \frac{x}{x^2+1}dx[/math]را محاسبه کنید . ببینید نکته ای که در این انتگرال وجود دارد این است که شما همیشه همان حالت کلی را نخواهید داشت ، یعنی حتما تابع و مشتق آن مشخص نیست بلکه ممکن است نیاز باشد در عددی ضرب یا تقسیم و یا کمی تغییرات ایجاد کنید تا همان فرم روش جانشانی حاصل شود مثلا در این مثال باید انتگرال را بصورت زیر تبدیل کنیم : [math]\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx[/math] پس با روش جانشانی بصورت زیر خواهد بود [math]u=x^2+1\Rightarrow du=2xdx[/math] [math]\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln u+c[/math] [math]\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+c[/math] مثال 2 : انتگرال [math]\int (x+1)^3dx[/math] را بدست آورید. [math]\int (x+1)^3dx=\int (x+1)^3 \times 1 dx[/math] [math]u=x+1[/math] [math]\int (u)^3du=\frac{u^4}{4}+c[/math] [math]\frac{(x+1)^4}{4}+c[/math] تمرینات و مثالهای حل شده انتگرال گیری به روش جانشانی فرمولهای پایه انتگرال
فرمولهای پایه انتگرال را به صورت یک تصویر خدمت شما ارایه می شود
انتگرال تابع لگاریتم طبیعی و تابع نمایی
در مباحث گذشته مطرح کردیم که مشتق [math]e^x[/math] برابر همان [math]e^x[/math] است . و اگر تا بی نهایت از آن مشتق بگیریم باز همان [math]e^x[/math] می شود بناربر این با توجه به قاعده ارتباط معکوس مشتق و انتگرال با یکدیگر ،خواهیم داشت که :
تکنیکهای انتگرال گیری
انتگرال گیری به روش جزء به جزء
\\=\frac{-x\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\left ( \frac{sin2x}{2} \right )+k
\\=\frac{-x\cos 2x}{2}+\left ( \frac{sin2x}{4} \right )+k
انتگرال گیری جانشانی
آنچه که تاکنون در مورد انتگرال فراگرفتیم عبارت بود از انتگرال بر اساس قوانین پایه و فرولهای مشخص است ، اما ما برای محاسبه انتگرالها نمی توانیم همیشه از فرمولها از پیش تعریف شده استفاده کنیم ، چرا که دنیای انتگرال دنیای پیچیده ای است و عبارتهای انتگرال گیری گاهی ممکن است بیش از اندازه پیچیده شود ، بر این اساس ما باید روشها و تکنیکهای انتگرال گیری را نیز بکار ببریم ،این روشها به ما کمک می کند که انتگرال پیچیده را به صورتهایی ساده تر تبدیل کنیم و آنگاه می توانیم به راحتی انتگرال را محاسبه کنیم ، یکی از این روشها روش تغییر متغیر یا روش جانشانی است .
آزمون
[watupro 1]
[watuproplay-rewards column]
[watuproplay-rewards table]
عالی بود