زوج یا فرد بودن توابع چند ضابطه ای و ترکیب توابع
نکات کنکوری توابع زوج وفرد، در توابع چند ضابطه ای و ترکیب توابع
ما در این پست می خواهیم بررسی کنیم که
1-چگونه زوج یا فرد بودن توابع چند ضابطه ای را تشخیص دهیم؟
2-زوج یا فرد بودن یک تابع چه تاثیری بر ترکیب توابع دارد ؟
بخش اول-زوج یا فرد بودن توابع چند ضابطه ای :
ما در تابع چند ضابطه ای با حالتهایی مواجه می شویم که ممکن است با تغییر متغیر [math]x[/math] به متغیر منفی یعنی [math]-x[/math] کلا فرآیند حل مساله دارای نکات ریزی می شود به تعبیری دیگر [math]f(-x)[/math] در این حالت لزوما خود تابع [math]f(x)[/math] با تغییر متغیر [math]-x[/math] نخواهد بود ،همچنین شما باید هر ضابطه را جداگانه بررسی کنید، خوب من فکر می کنم بهتره برای فهم مطلب چند تمرین و تست را با هم حل کنیم تا مطلب بهتر برای شما واضح بشه
1-تابع با ضابطه زیر از نظر زوج و فرد بودن چگونه است ؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt x } & {x \ge 0} \\ { – \sqrt { – x} } & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)فقط زوج 2)فقط فرد 3)نه زوج و نه فرد 4)هم زوج و هم فرد
جواب :
ابتدا ما گزینه اول ضابطه را بررسی می کنیم جایی که متغیر [math]x>0[/math]
طبق ضابطه تابع داریم اگر [math] x \ge 0[/math] حالا اگر آن را در منفی ضرب کنیم خواهیم داشت که
[math]-x<0[/math] در واقع اینجا ما یک نامعادله داشتیم که با ضرب منفی در آن تغییر می کند حالا داریم :
[math]1)x > 0 \to – x < 0 \\ 2)x > 0 \to f(x) = \sqrt x \\ 3) – x < 0 \to f( – x) = – \sqrt { – ( – x)} = – \sqrt x = – f(x) \\[/math]
در سطر شماره 2 بالا می دانیم که در حالتی که [math]x>0[/math] باشد آنگاه تابع [math]f(x)[/math] برابر همان ضابطه رایکال ایکس است اما وقتی بجای متغیر ، مقدار منفی را قرار می دهیم عبارت زیر قابل قبول نیست :
[math]x > 0 \to f(x) = \sqrt x \to f( – x) \ne \sqrt { – x} [/math]
دلیلش کاملا مشخصه و از روی ضابطه روشن است که علامت متغیر [math]-x[/math] شد آنگاه باید ضابطه دوم را بکار ببریم چون محدوده [math]-x[/math] در مقادیر کوچکتر از صفر هست لذا می بینیم در سطر سوم به هنگام تغییر متغیر ضابطه مورد نظر ما نیز ،تغییر کرد .
حالا ضابطه اول را فهمیدیم ، اکنون باید ضابطه دوم را نیز بررسی کنیم
[math]1)x < 0 \to – x > 0 \\ 2)x < 0 \to f(x) = – \sqrt { – x} \\ 3) – x > 0 \to f( – x) = \sqrt {( – x)} = – f(x) \\[/math]
پس نتیجه می گیریم تابع ما فرد است .
2-اگر تابع [math]f(x)[/math] با ضابطه زیر یک تابع فرد باشد ،آنگاه حاصل [math]a+b+c[/math] کدام است ؟
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {{x^2} + x + 1} } & {x > 0} \\ {a\sqrt {{x^2} + bx + c} } & {x < 0} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)-3 2)1 3)3 4)-1
جواب :
چون گفته تابع فرد است پس باید [math]f(-x)=-f(x)[/math]
[math]x > 0 \to – x < 0 \\ f( – x) = – f(x) \\ a\sqrt {{{( – x)}^2} + b( – x) + c} = – \sqrt {{x^2} + x – 1} \\ a\sqrt {{x^2} – bx + c} = – \sqrt {{x^2} + x – 1} \\[/math]
حالا باید طرفین تساوی برای تمام مقادیر [math]x[/math] مساوی باشند ، پس داریم :
[math] a=-1,b=-1,c=-1[/math]
پس جواب گزینه 1 است .
بخش دوم-توابع ترکیبی از نظر زوج و فرد بودن چگونه است ؟
در مورد ترکیب توابع نکات زیر را حتما در نظر بگیرید
1-اگر [math]f,g[/math] هر دو زوج باشند، آنگاه [math]fog[/math] و [math]gof[/math] نیز زوج هستند.
2- اگر [math]f,g[/math] هر دو فرد باشند، آنگاه [math]fog[/math] و [math]gof[/math] نیز فرد هستند.
3-اگر حداقل یکی از توابع [math]f[/math] یا [math]g[/math] زوج باشند آنگاه توابع [math]fog[/math] و [math]gof[/math] نیز زوج هستند.
تست1: اگر [math] f(x) = x + \frac{1}{x}[/math] و [math] g(x) = {2^x}[/math] باشند ، آنگاه [math]fog[/math] چگونه است ؟
1)زوج 2)فرد 3)نه فرد و نه زوج 4)صعودی
جواب :
تابع [math]f(x)[/math] فرد است چون
[math]f(x) = x + \frac{1}{x} \to f( – x) = – x – \frac{1}{x} = – (x + \frac{1}{x}) = – f(x)[/math]
اما [math]g(x)[/math] نه فرد است و نه زوج لذا نمی توان از نکات بالا برای حل ان استفاده کنیم پس بهتر است آن را ترکیب کنیم و نتیجه را بررسی کنیم
[math]\left\{ \begin{array}{l} f(x) = x + \frac{1}{x} \\ g(x) = {2^x} \\ \end{array} \right\} \to fog = f(g(x) = f({2^x}) = {2^x} + \frac{1}{{{2^x}}} = {2^x} + {2^{ – x}} \\ fog(x) = {2^x} + {2^{ – x}} \to fog( – x) = {2^{ – x}} + {2^x} \\[/math]
پس تابع ما زوج است.
تست2:فرض کنید [math] g(x) = \frac{1}{2} + [\frac{1}{2}x][/math] و [math]f(x)=[x]+[-x][/math] در این صورت کدام یک از گزینه های زیر در مورد تابع [math]fog[/math] صحیح است ؟
1)هم زوج و هم فرد 2)نه زوج و نه فرد 3)زوج است 4)فرد است.
جواب :
ابتدا تابع [math]f(x)[/math] را از نظر زوج و فرد بودن بررسی می کنیم .
[math]f(x) = [x] + [ – x] \\ f( – x) = [ – x] + [ – ( – x)] = [ – x] + [x] = f(x)[/math]
پس تابع [math]f(x)[/math] تابع زوجی است پس طبق نکته 3 ترکیب [math]fog[/math] نیز یک تابع زوج است.