نمونه سوالات امتحانی ترکیب توابع با پاسخ تشریحی
نمونه سوالات امتحانی ترکیب توابع با پاسخ تشریحی
1-دو تابع [math]f(x)=x-1[/math] و [math]g(x)= \sqrt {x + 2} [/math] را در نظر بگیرید (امتحان نهایی-سراسری-دی 92)
الف)دامنه [math]gof[/math] را بدون محاسبه [math](gof)(x)[/math] بدست آورید
ب)ضابطه [math]gof[/math] را بدست آورید.
جواب:
[math]{D_f} = R,{D_g} = [ – 2, + \infty ) \\ [/math]
الف)
[math]{D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}|f(x) \in {D_g}} \right\} \to x – 1 \ge – 2 \to x \ge – 2 + 1 \to x \ge – 1 \\ {D_{gof}} = [ – 1,, + \infty ) \\[/math]
ب)
[math]g(f(x)) = g(x – 1) = \sqrt {x – 1 + 2} = \sqrt {x + 1}[/math]
2-اگر [math] f(x) = {x^2} + 2x + 2[/math] باشد تابع [math]g(x)[/math] را به گونه ای مشخص کنید که
[math] (fog)(x) = {x^2} – 4x + 5 [/math]
(امتحان نهایی حسابان خرداد 93-رشته ریاضی)
جواب :
[math](fog)(x) = f(g(x)) = {g^2}(x) + 2g(x) + 2 = {x^2} – 4x + 5 \\ {g^2}(x) + 2g(x) + 1 = {x^2} – 4x + 4 \\ {(g(x) + 1)^2} = {(x – 2)^2} \to g(x) = \pm (x – 2) – 1 \\[/math]
3-اگر[math] f(x) = \left\{ {(4,5),(6,3),(7,1)} \right\},g(x) = \left\{ {(3,4),(6,0),(4,6)} \right\}[/math] در تابع باشند آنگاه [math]fog[/math] ا محاسبه کنید .
(امتحان نهایی حسابان-رشته ریاضی-دی ماه 91)
جواب:
[math]{R_g} = \left\{ {4,0,6} \right\} \\ {D_f} = \left\{ {4,6,7} \right\} \\ {D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}|g(x) \in {D_f}} \right\} = \left\{ {3,4} \right\} \\ (fog)(3) = f[g(3)] = f(4) = 5 \to (3,5) \\ (fog)(4) = f[g(4)] = f(6) = 3 \to (4,3) \\fog = \left\{ {(3,5),(4,3)} \right\} \\[/math]
4-دو تابع [math]f(x)=3x+a[/math] و [math]g(x)=ax+3b[/math] را در نظر بگیرید ،مقادیر [math]a,b[/math] را به گونه ای بیابید که [math](fog)(x)=3x-10[/math] باشد.
(امتحان نهایی حسابان-شهریور 89)
جواب:
[math](fog)(x) = f(g(x)) = 3g(x) – a \\ \left\{ \begin{array}{l} = 3(ax + 3b) – a = 3ax + 9b – a \\ (fog)(x) = 3x – 10 \\ \end{array} \right\} \to 3ax + (9b – a) = 3x – 10 \to \\ \\ \left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ 9b – a = – 10 \\ \end{array} \right\} \to b = – 1 \\[/math]
5-اگر [math]f(x)=[x+1][/math] و [math]g(x)=\sqrt{3-x}+\sqrt{x-3}[/math] باشند ،مطلوبست دامنه تابع [math]fog[/math]
(امتحان نهایی حسابان-خرداد 89)
[math]{D_g} = R \\ {D_f} = \left\{ \begin{array}{l} x – 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3 \\ 3 – x \ge 0 \Rightarrow x \le 3 \\ \end{array} \right\} \to {D_f} = \left\{ 3 \right\} \\ {D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}|g(x) \in {D_f}} \right\} = \left\{ {x \in R|[x + 1] = 3} \right\} = \left\{ {x \in R|3 \le x + 1 \prec 4} \right\} = \\ \left\{ {x \in R|2 \le x \prec 3} \right\} \\[/math]
6-اگر [math]g(x)=2x-1[/math] و[math](fog)(x)=\frac{x}{{x – 3}}[/math] مقدار (f(3 کدام است ؟
1)-4
2)-2
3)2
4)4
کنکور سراسری 91 رشته ریاضی
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} f(g(x)) = \frac{x}{{x – 3}} \\ g(x) = 2x – 1 \\ \end{array} \right\} \to f(2x – 1) = \frac{x}{{x – 3}} \\[/math]
اکنون برای محاسبه [math]f(3)[/math] می توانیم عبارت [math]2x-1[/math] را برابر 3 قرار دهیم و متغیر x را بدست آوریم.
[math]2x – 1 = 3 \to x = 2 \\ f(3) = \frac{2}{{2 – 3}} = – 2 \\[/math]
پس جواب گزینه 2 است.
7-در تابع با ضابطه زیر مقدار [math]f(f(5))+f(f(1)) [/math] کدام است ؟ (کنکور90 رشته تجربی)
[math]f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x – \sqrt {x + 4} } & {x > 3} \\ {2x + 3} & {x \le 3} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
1)6 2)7 3)8 4)9
جواب :
دقت کنید که [math]f(5)[/math] چون عدد 5 بزرگتر از 3 است پس از گزینه اول تابع چند ضابطه استفاده می کنیم و برای محاسبه [math]f(1)[/math] باید از گزینه دوم تابع چند ضابطه ای یعنی [math]2x+3[/math] استفاده کنیم پس داریم که :
[math]f(f(5)) + f(f(1)) = f(5 – \sqrt {5 + 4} ) + f(2(1) + 3) = f(2) + f(5) = \\ (2(2) + 3) + (5 – \sqrt {5 + 4} ) = 7 + 2 = 9 \\[/math]
جواب گزینه 4
8-اگر [math] f(x – 3) = {x^2} – 4x + 5[/math] آنگاه [math]f(1-x)[/math] کدام است ؟ (کنکور سراسری 90 رشته تجربی)
1)[math]{x^2}+1[/math]
2)[math]{x^2}+3[/math]
3)[math]{x^2}+4x+5[/math]
4)[math]{x^2}-4x+5[/math]
جواب :
ابتدا سعی می کنیم با تغییر متغیر مقدار [math]f(x)[/math] را بدست آوریم .برای اینکار به جای [math]x-3[/math] متغیر t را جایگزین می کنیم و x را بر حسب t حساب می کنیم.
[math]f(x – 3) = {x^2} – 4x + 5\left\{ {x – 3 = t \to x = t + 3} \right\} \\ f(t) = {(t + 3)^2} – 4(t + 3) + 5 \\ f(t) = {t^2} + 6t + 9 – 4t – 12 + 5 = {t^2} + 2t + 2 \\[/math]
اکنون متغیر x را با متغیر t عوض می کنیم یعنی t=x
[math]f(x)={x^2}+2x+2[/math]
اکنون برای محاسبه [math]f(1-x)[/math] باید در ضابطه [math]f(x)[/math] به جای x عبارت 1-x را جایگزین کنیم.
[math] f(1 – x) = {(1 – x)^2} + 2(1 – x) + 2 = {x^2} – 4x + 5[/math]
جواب گزینه 4
9-دو تابع [math]f(x)=[x]+[-x][/math] و [math]g(x)={x^2}+x-2[/math] مفروض اند.اگر [math]g(f(x))=-2[/math] مجموعه مقادیر X کدام است ؟ (کنکور 89 رشته ریاضی)
1)R-Z
2)Z
3)R
4)تهی
جواب :
[math]\left\{ \begin{array}{l} 1)f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {x \in Z} \\ { – 1} & {x \notin Z} \\\end{array}} \right\} \to g(f(x)) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {g(0)} & {x \in Z} \\ {g( – 1)} & {x \notin Z} \\\end{array}} \right\} \\ 2)g(x) = {x^2} + x – 2 \to \left\{ \begin{array}{l} g(0) = – 2 \\ g( – 1) = – 2 \\ \end{array} \right\} \\ \\ \end{array} \right\} \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { – 2} & {x \in Z} \\ { – 2} & {x \notin Z} \\\end{array}} \right\} \\[/math]
چون [math]g(f(x))=-2[/math] همواره برابر منفی 2 است پس جواب گزینه 3 می باشد.
10-اگر [math]f(x)=2x+2a[/math] و [math]g(x)={x^2}+bx+c[/math] و [math]fog=2{x^2}+x+1[/math] آنگاه مقدار [math]a+b+c[/math] را بدست اورید. (کنکور آزاد تجربی -79)
1)1
2)2
3)-1
4)-3
[math]f(g(x)) = 2g(x) + 2a = 2({x^2} + bx + c) + 2a \\ 2{x^2} + 2bx + 2c + 2a = 2{x^2} + x + 1 \\ \left\{ \begin{array}{l} 2b = 1 \to b = \frac{1}{2} \\ 2c + 2a = 1 \to c + a = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right\} \to a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \\[/math]