مفهوم حد
مفهوم حد
بعد از یادگیری تابع مهمترین مفهومی که باید یاد بگیرید حد توابع است .ما در بخش توابع یاد گرفتیم که تابع یعنی به ازای هر ورودی یک خروجی مشخصی بدست می آید .اما گاهی به مواردی برخورد می کنیم که نیاز به مفهوم دیگری دارند.
فرض کنید تابعی داریم به شکل زیر ،که به ازای حالتهای مختلف پرتو نور مستقیمی که از نقطه O تابیده می شود ،نقاط مختلفی از خط d را روشن می کند .
بستگی به زاویه پرتو نور (خط تابش) با خط مبدا که چه زاویه ای تشکیل می شود .فاصله ای نقطه A از نقطه [math]O’[/math] مشخص می شود.
در مفهوم تابع ما می توانستیم به صورت زوج مرتب فاصله و زاویه را نشان دهیم یعنی زوج مرتبی داشته باشیم که مولفه اول آن زاویه و مولفه دوم آن فاصله را نشان می دهد . بدیهی است که به ازای هر زاویه در بالا ما یک فاصله خواهیم داشت .
اما در یک جاهایی ممکن است نتوانیم به صورت تابع بحث بالا را توجیه کنیم .اون هم زمانی که پرتو نور حالتی موازی با خط d می گیرد یعنی زاویه 90 درجه شود .یعنی نقطه A در این حالت قراره کجای خط d قرار بگیرد .اینجاست که مفهوم حد به کمک ما می آید.
بزار کمی ساده تر صحبت کنیم!
فرض کنید شما با یک شخصی دوستی دارید .شما می دانید که در برابر یک رفتار شما ،دوست شما فلان عکس العمل را از خودش نشان خواهد داد. یعنی در واقع اینجا شما از دیدگاه تابعی به ازای یک رفتار یک عکس العمل خواهید داشت . اما …
اما حالا می خواهید رفتاری از خودتان نشان دهید که تا حالا نداشتید و جدید است .مسلما چون از عکس العمل طرف مقابلتان خبر ندارید پس اینجا تلاش می کنید کم کم و با “نزدیک کردن” رفتارتان به آن رفتار مورد نظر ،عکس العمل دوستتان را بررسی کنید .یعنی در واقع شما “حدس” می زنید که در ازای این رفتار احتمالا دوست شما “فلان عکس العمل ” را نشان خواهد داد .
مثلا میخواهید از دوستتان چیزی را طلب کنید و شما می دانید که دوست شما ممکن حساس بشه .پس فوری نمی توانید مطلب را مطرح کنید پس تلاش می کنید کم کم مطلب خودتان را مطرح کنید یعنی شما کم کم نزدیک می شوید به مطرح کردن خواسته خود .به موازات زمینه سازیهای شما ،عکس العمل دوست شما هم کم کم برای شما مشخص می شود .
یعنی برای “نزدیک شدن” عکس العمل به آن حدس شما کافیست رفتارتان را به آن رفتار مورد نظرتان به اندازه کافی نزدیک کنید تا بدون مشکل بتوانید دوستتان را به حدس خود نزدیک کنید.
ببینید شما اینجا رفتارتان در واقع یک رفتار قطعی نیست بلکه تدریجی دارید نزدیک می شوید به هدف خودتان و در مقابل هم تدریجی و کم کم دارید به عکس العمل دوستتان نزدیک می شوید .این همان مفهوم ساده حد هست.
حالا دوباره بر می گردیم سر مثال ریاضی و خط موازی .هر چقدر پرتو نور زاویه اش زیاد بشه و به 90 درجه نزدیک بشه در نتیجه فاصله روی خط d هم زیاد می شود و از نقطه [math]O’[/math] دور می شویم.یعنی می گوییم فاصله به یک عددی بسیار بزرگ نزدیک می شود که فقط می دانیم که به یک عدد بسیار بزرگی در حال نزدیک شدن است .
با این مقدمه می توان گفت که حد در واقع بررسی رفتار توابع در اطراف و نزدیکیهای نقاط است . در حالی که ما تا الان رفتار تابع را در خود نقاط بررسی می کردیم . اما در حد میخواهیم ببینم در نزدیکی یک نقطه تابع چه رفتاری می تواند داشته باشد .همانطور که در زندگی عادی روزانه با پدیده هایی مواجه هستیم که هیچ وقت جواب قطعی ندارند بلکه باید با حدس و گمان تلاش کنیم جوابهایی را نزدیک به واقعیت برای آنها پیدا کنیم .
حد یک تابع [math]f(x)[/math] وقتی نقطه x به سمت a میل می کند برابر L می شود و بصورت زیر می نویسیم :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L [/math]
مثال 1: حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) [/math] را بدست آورید.
ابتدا مقادیر X را به عدد یک نزدیک می کنیم تا ببینیم مقادیر تابع ما چه عددهایی خواهند بود :
طبق جدول بالا وقتی x از دو طرف چپ و راست به عدد 1 نزدیک می شود مقدار تابع به عدد 2 نزدیک می شود. مطابق نمودار تابع در شکل زیر :
یعنی اینجا دیدیم که حد تابع داده شده وقتی x به عدد 1 نزدیک می شود به همین ترتیب مقدار خود تابع نیز به عدد 2 نزدیک می شود پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + 1) = 2 [/math]
مثال 2:حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) [/math] در سه حالت زیر حساب کنید .
a.
حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} [/math]
چون تابع کسری است پس دامنه تابع شامل مخرج کسر یعنی عدد 1 نیست در واقع تابع در نقطه x=1 تعریف نشده است .
[math] {D_f} = R – \left\{ 1 \right\} [/math]
اکنون می خواهیم رفتار تابع را در اطراف و به هنگام نزدیک شدن به x=1 را بررسی کنیم.ابتدا می دانیم که این تابع به ازای هر [math] x \ne 1 [/math] ضابطه تابع را می توان ساده کرد و به صورت زیر نوشت:
[math] f(x) = \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \frac{{(x – 1)(x + 1)}}{{x – 1}} = x + 1 [/math]
اکنون مقادیر تابع بدست آمده را در نقاط نزدیک به 1 حساب می کنیم:
طبق جدول بالا وقتی x از دو طرف چپ و راست به عدد 1 نزدیک می شود مقدار تابع به عدد 2 نزدیک می شود. مطابق نمودار تابع در شکل زیر :
یعنی اینجا دیدیم که حد تابع داده شده وقتی x به عدد 1 نزدیک می شود به همین ترتیب مقدار خود تابع نیز به عدد 2 نزدیک می شود پس :
[math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} – 1}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + 1 = 2 [/math]
b-
حد تابع [math] \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{|x – 1|}}{{x – 1}} [/math]
اینجا چون تابع کسری است پس دامنه آن [math] {D_f} = R – \left\{ 1 \right\} [/math] اما چون قد مطلق دارد تابع به صورت چند ضابطه خواهد بود :
[math] f(x) = \frac{{|x – 1|}}{{x – 1}} \to \left\{ \begin{array}{l}x > 1 \to \frac{{x – 1}}{{x – 1}} = 1\\x < 1 \to \frac{{x – 1}}{{x – 1}} = – 1\end{array} \right\} \to f(x) = \frac{{|x – 1|}}{{x – 1}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{x > 1}\\{ – 1}&{x < 1}\end{array}} \right\} [/math]
نمودار این تابع به صورت زیر خواهد بود :
طبق نمودار تابع ، این تابع در نقطه x=1 حد ندارد .اکنون جدول مقادیر را ببینید
وقتی x از سمت چپ به 1 نزدیک می شود [math]f(x)[/math] به منفی یک نزدیک می شود اما وقتی از سمت راست x به سمت 1 نزدیک شود تابع f(x) به سمت عدد 1 نزدیک می شود . در واقع حد ما به یک عدد نزدیک نمی شود پس این تابع در نقطه x=1 حد ندارد .
c.
حد تابع چند ضابطه ای
[math] f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}x&{x \ne 1}\\0&{x = 1}\end{array}} \right\} [/math]
طبق تعریف تابع این تابع در نقطه x=1 برابر صفر است .در نقاطی که [math] x \ne 1 [/math] ضابطه تابع ما برابر [math] f(x)=x [/math]پس برای حد گیری از ضابطه [math] f(x)=x [/math] استفاده می کنیم .حالا جدول مقادیر را ببیند:
خوب می بیند که هم از راست و هم از چپ وقتی x به عدد 1 نزدیک می شود مقدار تابع هم به سمت عدد 1 نزدیک می شود و نمودار تابع هم به صورت زیر است :
پس با توجه به جدول مقادیر و نمودار وقتی X به سمت 1 نزدیک می شود تابع نیز به عدد 1 نزدیک می شود یعنی حد تابع برابر 1 است .
نتیجه گیری :
الف) در تابع بخش a تابع در نقطه x=1 تعریف نشده بود چون تابع کسری بود و x=1 هم ریشه مخرج بود ، اما دیدیم که در این نقطه حد داشت .یعنی
ممکن است تابعی در یک نقطه تعریف نشده باشد اما در آن نقطه حد دارد .
ب)ممکن است تابع در نقطه ای تعریف شده باشد و در این نقطه حد هم داشته باشد اما مقدار تابع در آن نقطه با مقدار حد در ان نقطه برابر نباشد.
slm vaqean mc aliii bud man az dorane dabirestan ye dabire riazi dashtam ke hich vaqt be ma dorost nemigoft had chie alan dge to daneshgah jayi nist ke man bekham az ostad az aval bege va matlabe shoma foqolade bud hade aqal man fahmidam in had chie jariyanesh bazam mc..:)
با سلام و عرض تشکر بی حد نسبت به زحمات شماگرامیان
در پناه خالق بی شریک باشید.
سلام استاد ايا اين تعريفي كه من از حد دارم درست است يا نه؟؟
حدf(Xوقتي كه xبه سمت عددaميل ميكندبرابر است با lهرگاه:
به ازاي هر همسايگي متقارن عددlبه شعاع اپسيلن وجود داشته باشد همسايگي متقارن محذوف عددaبه شعاع دلتا به طوري كه xهايي كه در همسايگي متقارن محذوف عددaبه شعاع دلتا هستند را به تابع بدهيم…f(xهايي را كه ايجاد ميكند جز همسايگي متقارن عدد lبه شعاع اپسيلن باشد
کاملا درسته
سلام استاد عزيز..
لطف ميكنيد سواله منو جواب بدهيد..
بازم ممنون
سلام استاد …..
تعريف ومفهوم دو تابع هم ارز….
واينكه چگونه ميتوان هم ارز تابعي را در نقطه ايي بدست اورد…البته با اثبات كامل…
خيلي ممنون استاد عزيز
با سلام
سایتتون خیلی خوب طراحی و تنظیم شده
من تازه شروع به یادگیری کردم امیدوارم بتونم زحمات شایسته شما رو به واقعیت تبدیل کنم و به توانایی درک مطلوب از موضوع حد برسم.
تشکر*************************************************************
thnaks .super
Vielen Dank das War super!
سپاسگزارم با آرزوی موفقیت های پی در پی
خوب بود
سلام و تشکر فراوان
بسیار خوب و مفهومی