مشتق توابع بخش 12-مشتق پارامتری
مشتق توابع بخش 11-مشتق تابع ضمنی
فرض کنیم رابطه بین x,y را بصورت پارامتری تابعی از متغیر t بصورت زیر باشد .
[math]\left\{ \begin{array}{l}
x = f(t)\\
y = g(t)
\end{array} \right\}[/math]
ما در اینجا به متغیر t پارامتر می گوییم ما تا اینجا می دانیم که مشتق y را بر حسب x می توان بدست آورد اما اکنون با حالتی جدید مواجه هستیم که بین یک پارامتر قرار گرفته ایم ، خوب برای اینکار فرض می کنیم که[math] y=F(x)[/math] باشد یعنی در واقع[math]y=F(f(t))[/math] این برای اینکه ما تابعی بر حسب x بدست آوریم حالا چون از تساوی بالا[math] y=g(t)[/math] هست پس خواهیم داشت که :
[math]g(t)=F(f(t))[/math]
اکنون طبق قاعده مشتق زنجیره ای مشتق فوق را محاسبه می کنیم :
[math]g'(t) = F'(f(t))f'(t)[/math]
از طرفی ما می دانیم که[math]y=g(t) , x=f(t) [/math] پس خواهیم داشت که :
[math]\frac{{dy}}{{dt}} = F'(x)\frac{{dx}}{{dt}}[/math]
و در نهایت داریم که :
[math]F'(x) = \frac{{\frac{{dy}}{{dt}}}}{{\frac{{dx}}{{dt}}}} = \frac{{{{y’}_t}}}{{{{x’}_t}}}[/math]
خوب اکنون که روش کار را فرا گرفتیم برای فهم بیشتر مطلب چند مثالی را حل می کنیم :
مثال 1:مشتق تابع پارامتری روبرو را محاسبه کنید
[math]\left\{ \begin{array}{l}x = at\\y = b{t^2}\end{array} \right\}\\{{x’}_t} = (at)’ = a\\{{y’}_t} = (b{t^2})’ = 2bt\\\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{{{y’}_t}}}{{{{x’}_t}}} = \frac{{2bt}}{a}\\
[/math]
مثال 2:مشتق تابع پارامتری روبرو را محاسبه کنید.
[math]x = {e^{2t}},\;\;y = {e^{3t}}\\{{x’}_t} = {\left( {{e^{2t}}} \right)^\prime } = 2{e^{2t}}\\\;{{y’}_t} = {\left( {{e^{3t}}} \right)^\prime } = 3{e^{3t}}\\\frac{{dy}}{{dx}} = {{y’}_x} = \frac{{{{y’}_t}}}{{{{x’}_t}}} = \frac{{3{e^{3t}}}}{{2{e^{2t}}}} = \frac{3}{2}{e^{3t – 2t}} = \frac{3}{2}{e^t}[/math]
[math]x = si{n^2}t,y = co{s^2}t\\{{x’}_t} = {\left( {{{\sin }^2}t} \right)^\prime } = 2\sin t\cdot\cos t = \sin 2t\\{{y’}_t} = {\left( {{{\cos }^2}t} \right)^\prime } = 2\cos t\cdot\left( { – \sin t} \right) = – 2\sin t\cos t = – \sin 2t\\\frac{{dy}}{{dx}} = {{y’}_x} = \frac{{{{y’}_t}}}{{{{x’}_t}}} = \frac{{ – \sin 2t}}{{\sin 2t}} = {\rm{ – }}1,\;\;\;\;t \ne \frac{{\pi n}}{2},\;\;n \in z.\\[/math]
مثال 3:مشتق مساحت دایره را نسبت به محیط دایره حساب کنید.
می دانیم که مساحت دایره [math] S = \pi {r^2} [/math] و محیط دایره [math] p = 2\pi r [/math]
[math] \frac{{ds}}{{dr}} = \frac{{\frac{{ds}}{{dr}}}}{{\frac{{dp}}{{dr}}}} = \frac{{2\pi r}}{{2\pi }} = r [/math]
متشکرم از سایت خوبتون.
بسیار سودمند و آموزنده بود، امیدوارم همیشه سلامت و موفق باشید
مفید بود. دست شما درد نکنه.