مجموعه متناهی و نامتناهی

مجموعه های متناهی و نامتناهی

یادآوری : در سالهای گذشته و مخصوصا در سال نهم با مجموعه های زیر آشنا شدیم :

 

اعداد طبیعی اعدادی که از یک به بالا می باشند [math] N = \{ 1,2,3,4,…..\}  [/math] مثلا {1,2,3,…} یا  {11,12,13,…}  دو مجموعه از اعداد طبیعی هستند.

اعداد حسابی اعداد طبیعی هستند به اضافه عدد صفر  :  [math] W = \{ 0,1,2,3,4,…..\}[/math]

مجموعه اعداد صحیح [math] Z = \{ …-2,-1,0,1,2,3,4,…..\}[/math] در نمودار زیر مجموعه اعداد صحیح روی محور نمایش داده شده است.

مجموعه اعداد گویا اعدادی که حاصل تقسیم دو عدد صحیح هستند به شرط آنکه مخرج برابر صفر نشود. [math] Q = \{ \frac{m}{n}|m,n \in Z,n \ne 0\}[/math] مثل مجموعه روبرو :[math] \{ …., – 3, – \frac{4}{3}, – 0.2,…0,1,1.5,….,5,..\}  [/math]

مجموعه اعداد گنگ مجموعه اعداد گنگ :       [math] Q ‘[/math]مجموعه اعدادی که نتوان بصورت نسبت دو عدد صحیح بنویسیم. مثل مجموعه روبرو : [math] \{ …., – 2 – \sqrt 3 , – \frac{{\sqrt 3 }}{3},…\sqrt 2 ,…,\pi ,…3\sqrt 7 \}  [/math]

مجموعه اعداد حقیقی -مجموعه اعداد حقیقی : [math] R = Q \cup Q'[/math]

 

1-مجموعه [math]R-Q[/math] چه نام دارد ؟

جواب : اینجا مشخص است که حاصل این تفاضل مجموعه ای از اعداد حقیقی هست که این اعداد در مجموعه اعداد گویا نیست .

پس نتیجه می گیریم با توجه به شکل بالا و شکل پایین جواب برابر با مجموعه اعداد گنگ هست .

2-مجموعه [math]W-N[/math] چند عضو دارد ؟

جوب فقط یک عضو دارد و آن هم [math]{0}[/math] چون مجموعه اعداد حسابی و اعداد طبیعی تنها در عدد صفر با هم فرق دارند.

بازه ها

سوال : تمام اعداد حقیقی موجود بین دو عدد -2 و 1 را بنویسید ؟

ابتدا سعی می کنم که جواب را به زبان ریاضی بنویسم ،خوب جواب من بصورت زیر خواهد بود :

[math] A = \{ x \in R| – 2 \le x \le 1\}  \\ [/math]

حالا سعی می کنم روی محور نمایش بدم :

 

حالا اگر بخواهم اعداد را تک تک نمایش بدهم می توانم اعداد زیر را در بین اعداد 1 و منفی 2 در نظر بگیرم :

[math] \[\{  – \sqrt 2 , – 1.5, – 1, – 0.5,0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},….1\} \][/math]

ببینید مجموعه بالا واقعا زیاده و راحت میتوانم بگویم که بین این دو عدد بی نهایت عدد می توانیم بنویسیم ، به همین خاطر ما باید یک الگوی ساده ای طراحی کنیم که براحتی بتوان مجموعه اعداد موجود بین دو عدد دلخواه را بیان کند، برای این کار از نمایش بازه ها استفاده می کنیم.

ما معمولا برای نمایش بازها از دو علامت زیر استفاده می کنیم

1-علامت[math] \left [  \right ][/math]این علامت یعنی خود آن اعداد هم جزء مجموعه اعداد هستند

2-علامت [math]()[/math] اون عدد جزء مجموعه اعداد نیست .

شکل پایین را ببینید :

مثال : مجموعه اعداد حقیقی بین [math](5,8][/math] را نمایش دهید .

خوب اینجا مشخص است که عدد 5 را نمی توان جزء مجموعه اعداد خواسته شده در نظر گرفت به تعبیری دیگر می توان مجموعه اعداد مورد نظر را بصورت زیر نمایش داد .

[math]{4.9999,…..4,3,……0,1,2…….,8}[/math]

با یه نگاه ساده به مجموعه فوق می بینیم که عدد 5 در مجموعه جواب نیست اما عدد 8 در مجموعه جواب خواسته شده هست .

برای مطالعه مفصل تر می توانید جزوه کامل مفهوم بازه ها را از لینک زیر دانلود کنید :

بازه ها

مجموعه متناهی : مجموعه ای است که تعداد اعضای آن برابر یک عدد حسابی باشد به این مجموعه متناهی یا مجموعه با پایان می گوییم .

مجموعه نامتناهی : اما بر خلاف تعریف بالا اگر نتوانیم تعداد اعضای یک مجموعه را حساب کنیم این مجموعه نامتناهی است .

مثال :

بین دو عدد [math][-2,3][/math] چند عدد طبیعی وجود دارد ؟ آیا این مجموعه متناهی است ؟

جواب : چون گفته عدد طبیعی پس حل مساله خیلی ساده است کافیست نمایش اعداد را بنویسیم :

[math]{-2,-1,0,1,2,3}[/math]

تعداد اعضای این مجموعه 6 عضو است پس یک مجموعه متناهی است .اما همین سوال را به شکلی دیگر مطرح می کنیم .

بین دو عدد [math][-2,3][/math] چند عدد حقیقی وجود دارد ؟ آیا این مجموعه متناهی است ؟

جواب : اینجا باید بگویم که بین دو عدد حقیقی همیشه بیشمار عدد حقیقی دیگری وجود دارد پس مجموعه فوق یک مجموعه با تعداد اعضای غیر قابل شمارش ، لذا این مجموعه نامتناهی است.

 

 

جزوه کامل مجموعه و الگو و دنباله ها ، دنباله حسابی ، دنباله هندسی ( فصل اول ریاضی پایه دهم)