سهمی –بدست آوردن راس سهمی
بدست آوردن راس سهمی و تعیین جهت سهمی
در مطلب قبل در مورد رسم نمودار معادله درجه دوم با استفاده از نقطه یابی توضیح دادیم .در آن نوشته نشان دادیم که نمودار یک معادله درجه دوم بصورت یک سهمی است ، اما همیشه نمی توان با استفاده از روش نقطه یابی نمودار معادله را رسم کرد بلکه باید روشی استاندارد و سریع برای این کار پیدا کنیم .
برای رسم یک سهمی اطلاعات زیر را باید پیدا کنیم :
1-دهانه و جهت سهمی به کدام سمت است ؟
2-راس سهمی چه نقطه ای است؟
3-سهمی در چه نقطه ای با محور x ها و در چه نقطه ای با محور y ها متقاطع است؟
اگر بتوانیم جواب سوالات بالا را پیدا کنیم آنگاه می توانیم به سادگی نمودار سهمی را رسم کنیم .ما در این مقاله سعی می کنیم پس از تعریف سهمی ، روش بدست آوردن راس سهمی را حساب کنیم و در مقاله های بعدی بقیه موارد را فرا بگیریم.
تعریف سهمی :نمودار هر معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] که در آن [math]a,b,c[/math] اعداد حقیقی هستند و [math] a \ne 0[/math] است .یک سهمی می گوییم که به یکی از دو صورت زیر می باشد :
برای روشن تر شدن مطلب مثالهای مطلب قبلی را اینجا مجددا بررسی می کنیم .در مطلب قبلی ما در مطلب قبل دو معادله درجه دوم بررسی کردیم و نمودار های انها را نیز رسم کردیم :
رسم نمودار معادله درجه دوم با استفاده از روش نقطه یابی
در مثالهای بالا خیلی واضح است که وقتی a>0 دهانه سهمی رو به بالا باز بود و در واقع راس سهمی پایین ترین نقطه است یا به تعبیری دیگر مینیمم است .
همچنین وقتی که a<0 باشد،دهانه سهمی رو به پایین بود (مثال [math]y = – {x^2} – 2x + 8 [/math]) و همچنین نقطه [math] \left( { – 1,9} \right)[/math] ماکزیمم است و این نقطه راس سهمی است.
پس نتیجه گیری اولیه این است که اگر معادله درجه دوم [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] به ما داده شده باشد اول از همه باید مقدار a را بررسی کنیم:
1-اگر a>0آنگاه دهانه سهمی رو به بالا است و راس سهمی در پایین و مینیمم است.
2-اگر a<0 آنگاه دهانه سهمی رو به پایین است و راس سهمی در بالا و ماکزیمم است .
پس جواب سوال اولی که در ابتدا مقاله مطرح کردیم را فهمیدیم ، یعنی با توجه به مثبت و منفی بودن a تشخیص می دهیم که دهانه سهمی یا جهت سهمی در کدام سمت است .
اکنون می رسیم به سوال دوم ، یعنی پیدا کردن راس سهمی
2-راس سهمی چه نقطه ای است؟ چگونه بدست می آید ؟
دومین گام برای رسم سهمی دانستن نقطه راس سهمی است ، ما برای اینکه بتوانیم راس سهمی معادله [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] را بدست آوریم باید این معادله را به فرمت
[math] y = a{(x – h)^2} + k[/math]
تبدیل کنیم که در این معادله بدست آمده نقطه (h,k) راس سهمی خواهد بود و خط x=h محور تقارن سهمی .
حالا اگر a>0 دهانه سهمی رو به بالا باز می شود و اگر a<0 دهانه سهمی رو به پایین باز می شود.
اما چگونه می توان [math] y = a{x^2} + bx + c[/math] را به فرم [math] y = a{(x – h)^2} + k[/math] تبدیل کنیم ؟
بطور کلی معادله [math] a{x^2} + bx + c = 0 [/math] را می توان به صورت زیر نوشت :
[math] a{x^2} + bx + c = a({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) [/math]
به عبارت بالا مقدار [math] + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}, – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} [/math] اضافه می کنیم :
[math] a{x^2} + bx + c = a({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a({x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}) [/math]
با توجه به اینکه می دانیم که :
[math] {x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = {(x + \frac{b}{2a})^2} [/math]
پس معادله ما بصورت زیر خواهد شد :
[math] a({(x + \frac{b}{{2a}})^2} + \frac{c}{a} – \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}) = a({(x + \frac{b}{{2a}})^2} + \frac{{4ac – {b^2}}}{{4{a^2}}}) = a{(x + \frac{b}{{2a}})^2} + \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} [/math]
در معادله بالا اگر [math] x = – \frac{b}{{2a}} [/math] مقدار تابع برابر [math] \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} [/math] خواهد بود از طرفی دیگر می دانیم که [math] {(x + \frac{b}{{2a}})^2} [/math] همواره مثبت است اما چون در معادله بدست آمده در a ضرب شده لذا به مقدار و علامت a بستگی دارد.
الف) اگر [math]a>0[/math] آنگاه عبارت [math] a{(x + \frac{b}{{2a}})^2} [/math] مثبت خواهد بود در نتیجه معادله در نقطه [math] x = – \frac{b}{{2a}} [/math] می نیمم است.
ب) اگر [math]a<0[/math] آنگاه عبارت [math] a{(x + \frac{b}{{2a}})^2} [/math] منفی خواهد بود در نتیجه معادله در نقطه [math] x = – \frac{b}{{2a}} [/math] ماکزیمم است.
اکنون اگر [math] h = – \frac{b}{{2a}}[/math] و [math] k = \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}[/math] قرار دهیم فرمت معادله [math] y = a{(x – h)^2} + k[/math] بدست می آید .
پس در واقع با توجه به محاسبات بالا راس سهمی در معادله [math] y = a{x^2} + bx + c [/math] دارای مختصات زیر است:
[math] \left( { – \frac{b}{{2a}},\frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}}} \right)[/math]
و خط [math] x = – \frac{b}{{2a}}[/math] محور تقارن سهمی است .
دوباره برمی گردیم به مثالهای مطلب قبلی که در بالای همین مقاله ذکر کردیم
معادله [math] y = {x^2} – 2x[/math] در مطلب قبلی نشان دادیم که نقطه
[math] \left( {1, – 1} \right)[/math] مینیمم و راس سهمی است ، اکنون می خواهیم با استفاده از روش راس سهمی حساب کنیم.
ابتدا مقادیر a,b,c معادله را بدست می آوریم :
[math]a=1,b=-2,c=0[/math] | [math] {x^2} – 2x=0 [/math] |
چون a>0 پس دهانه سهمی رو به بالا و راس سهمی در پایین ترین نقطه یعنی مینیمم است.
حالا مختصات راس سهمی را بدست می آوریم :
[math]x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{ – 2}}{2} = 1\\\\y = \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} = \frac{{4(1)(0) – {{( – 2)}^2}}}{{4(1)}} = \frac{{ – 4}}{4} = – 1[/math]
پس راس سهمی [math] \left( {1, – 1} \right)[/math]
مثال بعدی [math] y = – {x^2} – 2x + 8[/math] را بررسی می کنیم.
[math]a=-1,b=-2,c=8[/math] | [math] – {x^2} – 2x + 8=0[/math] |
چون a<0 پس دهانه سهمی رو به پایین و راس سهمی در بالاترین نقطه یعنی ماکزیمم است. حالا مختصات راس سهمی را بدست می آوریم :
[math]x = – \frac{b}{{2a}} = – \frac{{ – 2}}{2} = – 1\\\\y = \frac{{4ac – {b^2}}}{{4a}} = \frac{{4( – 1)(8) – {{( – 2)}^2}}}{{4( – 1)}} = \frac{{ – 32 – 4}}{{ – 4}} = \frac{{ – 36}}{{ – 4}} = 9\\[/math]
پس راس سهمی [math] \left( { – 1,9} \right)[/math]
در مطلب بعدی در مورد برخورد نمودار سهمی با محورهای مختصات توضیح خواهیم داد.