روش های تجزیه -بخش 1-فاکتور گیری ،اتحاد اول و دوم،مزدوج و جمله مشترک و روش A

روش های تجزیه

تجزیه چند جمله ای ها هم برای بچه های ریاضی و هم برای بچه های تجربی از اهمیت بالایی برخورداره این که بتونین اتحاد ها رو خیلی راحت گسترش بدین و یا تجزیه کنید خودش از مباحث بسیار مهم ریاضی هست . در این مطلب روشهای تجزیه فاکتور گیری ،اتحاد اول و دوم ،مزدوج و جمله مشترک و روش A یا تبدیل ضرایب را توضیح می دهیم

روشهای تجزیه ی عبارات جبری

1-تجزیه به کمک فاکتور گیری :

در این روش باید از بزرگترین عامل مشترک بین جمله ها ، فاکتور بگیریم . این روش زمانی بکار می رود که تمام جمله ها عامل یا فاکتور مشترکی داشته باشند در این روش از ضرب و تقسیم چند جمله ایها استفاده می کنیم .

مثال:عبارت های زیر را با استفاده از فاکتور گیری تجزیه کنید :

[math] 5{a^2}{b^3} + 10{a^3}{b^2} [/math]

عامل مشترک ما [math] 5{a^2}{b^2}[/math] می باشد که باید آن را فاکتور بگیریم

[math] 5{a^2}{b^3} + 10{a^3}{b^2} = 5{a^2}{b^2}(b + 2a)[/math]

مثال دوم را ببینید

[math]- {\rm{1}}0{{\rm{a}}^{\rm{3}}} + {\rm{ 5}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}} – {\rm{ 15a}} \\[/math]

عامل مشترک ما [math] {\rm{ – 5a}}[/math] که باید آن را فاکتور بگیریم

[math]\left( { – {\rm{5a}}} \right) \bullet {\rm{2}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}} + \left( { – {\rm{5a}}} \right) \bullet \left( { – {\rm{a}}} \right){\rm{ }} – \left( { – {\rm{5a}}} \right) \bullet \left( { – {\rm{3}}} \right) \\\left( { – {\rm{5a}}} \right)\left( {{\rm{2}}{{\rm{a}}^{\rm{2}}} – {\rm{ a }} + {\rm{ 3}}} \right) \\[/math]

2-تجزیه به کمک دسته بندی و فاکتور گیری :

گاهی ممکن است جملات دارای عامل مشترک نباشند ، اما اگر آنها را دسته بندی کنیم ، هر دسته دارای یک عامل مشترکی خواهند بود و سپس هر دسته را جداگانه فاکتور گیری می کنیم .

[math]1)6ax + 9ay – 4bx – 6by \\[/math]

ابتدا باید دسته بندی کنیم کافیست کمی جابجایی انجام دهیم :

[math] 1)6ax + 9ay – 4bx – 6by = 6ax – 4bx + 9ay – 6by  [/math]

اکنون براحتی می توانیم با استفاده از فاکتور گیری ، عمل تجزیه را انجام دهیم :

[math]1)6ax + 9ay – 4bx – 6by = 6ax – 4bx + 9ay – 6by  \\= 2x(3a – 2b) + 3y(3a – 2b) \\= (3a – 2b)(2x + 3y) \\[/math]

[math]2){a^5} – {a^4} + {a^3} – {a^2} = {a^5} + {a^3} – ({a^4} + {a^2}) \\= {a^3}({a^2} + 1) – {a^2}({a^2} + 1) \\= ({a^2} + 1)({a^3} – {a^2}) \\[/math]

3-تجزیه به کمک اتحاد اول و دوم :

ابتدا یاد آوری می کنم از اتحادهای اول و دوم بصورت زیر هستند :

[math]{a^2} + 2ab + {b^2} = {(a + b)^2} \\{a^2} – 2ab + {b^2} = {(a – b)^2} \\[/math]

در واقع هر گاه مربع دو عدد را داشته باشیم و همچنین دو برابر ضرب آن دو عدد هم باشد می توانیم از این اتحادها برای تجزیه استفاده کنیم .

بعد از عمل فاکتور گیری اگرسه جمله ای دارای مشخصات زیر باشد می توان از اتحاد اول کمک گرفت:

1-جملة اول و سوم دارای جذر کامل باشند

2-علامت جملة اول وسوم یکسان باشد

3- جملة دوم زوج باشد

مثال : عبارتهای زیر را به کمک اتحادهای اول و دوم تجزیه کنید :

[math] 1){x^2} + 12x + 36[/math]

در عبارت بالا ما دو مربع کامل داریم یکی [math] {x^2}[/math] و دیگری 36 است .

[math]{x^2} = x \times x \\36 = 6 \times 6 \\[/math]

حالا باید ببینم آیا دو برابر ضرب این دو عدد هم داریم خوب می دانیم که دو برابر ضرب 6 در متغیر x برابر با 12x می باشد و این جمله در عبارت بالا داریم پس خواهیم داشت که :

[math]\left\{ \begin{array}{l}1){x^2} + 12x + 36 \\{x^2} = x \times x \\36 = 6 \times 6 \\({a^2} + 2ab + {b^2}) \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = x \\b = 6 \\\end{array} \right\} \Rightarrow {x^2} + 12x + 36 = {(x + 6)^2} \\[/math]

[math]2)9{a^2} – 6a + 1 \\\\\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} = 3a \times 3a \\{1^2} = 1 \\{a^2} – 2ab + {b^2} = {(a – b)^2} \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = 3a \\b = 1 \\2ab = 6a \\\end{array} \right\} \to 9{a^2} – 6a + 1 = {(3a + 1)^2} \\[/math]

4-تجزیه به کمک اتحاد مزدوج :

هر گاه ما تفاضل دو عدد مربع کامل را داشته باشیم می توانیم از این اتحاد برای تجزیه عبارت استفاده کنیم.

[math] {a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b)[/math]

دقت کنید که این روش برای عبارتهای [math] {a^2} + {b^2}[/math] کاربرد ندارد ، فقط برای تفاضل مربعها کاربرد دارد

مثال :

[math] 1){x^2} – 64[/math]

در عبارت بالا مشخص است که ما تفاضل دو مربع کامل را داریم پس با توجه به اتحاد مزدوج می توانیم عبارت بالا را تجزیه کنیم :

[math]{x^2} – 64 \\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = x \times x \\64 = 8 \times 8 \\{a^2} – {b^2} = (a – b)(a + b) \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = x \\b = 8 \\\end{array} \right\} \to {x^2} – 64 = (x – 8)(x + 8) \\\\[/math]

[math] 2)9{m^2} – 81{n^6}[/math]

در عبارت بالا ابتدا از عدد 9 فاکتور می گیریم

[math]2)9{m^2} – 81{n^6} \\9({m^2} – 9{n^6}) = 9({m^2} – {(3{n^3})^2}) = 9(m – 3{n^3})(m + 3{n^3}) \\[/math]

5-تجزیه به کمک اتحاد جمله مشترک :

یادآوری می دانیم که اتحاد جمله مشترک بصورت زیر است :

[math] (x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab \\[/math]

هر گاه عبارتی داشته باشیم که یک مربع داشته باشد و جمع دو عددی در جذر ان مربع ضرب شوند و همین دو عدد هم بدون متغیر در هم ضرب شوند اینجا از اتحاد جمله مشترک استفاده می کنیم.به عبارتی دیگر ما با عبارت درجه دو مواجه می شویم که فقط یک مربع دارد.

برای تجزیه سه جمله ای درجه دوم در صورتی که ضریب جمله درجه دوم برابر 1 باشد از اتحاد جمله مشترک استفاده می کنیم

1-پرانتز باز کرده وجذر جمله را می نویسیم

2- سپس به دنبال اعدادی می گردیم که حاصل ضربشان با جمله ی سوم و حاصل جمع یا تفریقشان با جمله ی دوم آن عبارت برابر باشد .

مثال :

[math] 1){x^2} – 5x + 6 [/math]

عبارت فوق فقط یک مریع کامل دارد [math]x^2[/math] پس باید از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم برای اینکار باید

1-جمع دو عددی را پیدا کنیم که برابر منفی 5 شود

2-ضرب دو عددی را پیدا کنیم که برابر مثبت 6 باشد.

[math]{x^2} – 5x + 6 \\{x^2} + (a + b) + ab \\\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 5 \\a \times b = 6 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = – 2 \\b = – 3 \\\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = – 2 – 3 = – 5 \\ab = ( – 2)( – 3) = 6 \\\end{array} \right\} \to \\\\{x^2} – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \\[/math]

[math]\\2){x^2} – x – 20 \\{x^2} + (a + b) + ab \\\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 1 \\a \times b = – 20 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = – 5 \\b = 4 \\\end{array} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = – 5 + 4 = – 1 \\ab = ( – 5)(4) = – 20 \\\end{array} \right\} \to \\\\{x^2} – x – 20 = (x – 5)(x + 4) \\[/math]

6-تجزیه به روش A یا تبدیل ضرایب:

اگر در عبارت سه جمله ای متغیر جمله اول دارای جذر کامل بود اما ضریب ان جذر کامل نداشت اینجا باید از روش A یا تبدیل ضرایب استفاده کنیم :

1-ابتدا عبارت را برابر A قرار می دهیم

2-دو طرف عبارت را در عددی ضرب می کنیم تا یک مربع کامل بدست اوریم و به فرم جمله مشترک تبدیل شود.

3-پس از اتمام کار بر ضریب A تقسیم می کنیم.

مثال عبارات زیر را با استفاده از روش A تجزیه کنید.

[math] 1)5{x^2} – 8x – 21[/math]

دقت کنید که ضریب [math]x^2[/math] عدد 5 است و مربع کامل نیست پس باید آن را در عددی ضرب کنیم تا مربع کامل شود و به فرم جمله مشترک تبدیل شود . برای این کار طرفین را در عدد 5 ضرب می کنیم .

[math]A = 5{x^2} – 8x – 21 \\5A = 25{x^2} – 5(8)x – 5(21) = 25{x^2} – 40x – 105 \\5A = 25{x^2} – 40x – 105 \\[/math]

اکنون عبارت [math] 25{x^2} – 40x – 105[/math] مربع کامل دارد و با اتحاد جمله مشترک حل می شود .

[math]5A = 25{x^2} – 40x – 105 \\\left\{ \begin{array}{l}25{x^2} – 40x – 105 \\25{x^2} = 5x \times 5x \\40x = 8 \times 5 \times x = 5 \times 5x \\ab = – 105 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}(x + a)(x + b) = {x^2} + (a + b)x + ab \\(a + b) \times 5x = – 8 \times 5x \\ab = – 105 \\\end{array} \right\} \\\\\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 8 \\ab = – 105 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = – 15 \\b = 7 \\\end{array} \right\} \to \\ 5A = (5x – 15)(5x + 7) = 5(x – 3)(5x + 7) \\\\A = (x – 3)(5x + 7) \\[/math]

[math]2)2{x^2} – 13x + 18 \\2A = 4{x^2} – 26x + 36 \\\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} – 26x + 36 \\4{x^2} = 2x \times 2x \\26x = – 13 \times 2 \times x = – 5 \times 2x \\ab = + 36 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}(x + a)(x + b) ={x^2} + (a + b)x + ab \\(a + b) \times 2x = – 13 \times 2x \\ab = + 36 \\\end{array} \right\} \\\\\left\{ \begin{array}{l}a + b = – 13 \\ab = + 36 \\\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}a = – 4 \\b = – 9 \\\end{array} \right\} \to 2A = (2x – 4)(2x – 9) = 2(2x – 4)(2x – 9) \\\\A = (x – 2)(2x – 9) \\\\[/math]

در بخش بعدی روش های دیگری را در مورد تجزیه چند جمله ایها بررسی خواهیم کرد