روشهای تجزیه -بخش 2-اتحاد چاق و لاغر و تفکیک برخی جملات
در نوشته قبلی در مورد برخی روشهای تجزیه صحبت کردیم اکنون در ادامه مبحث روشهای دیگری را برای تجزیه عبارت های جبری بررسی می کنیم .
7-تجزیه با اتحادهای تفاضل و مجموع مکعبات(اتحاد چاق و لاغر)
ابتدا این اتحادها را برای یادآوری می نویسیم :
[math]{a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} – ab + {b^2}) \\ {a^3} – {b^3} = (a – b)({a^2} + ab + {b^2}) \\[/math]
هر گاه به عباراتی به فرم [math] {a^3} + {b^3} [/math]ویا [math] {a^3} – {b^3}[/math] مواجه شدیم می توانیم به کمک اتحاد چاق و لاغر آن ها را تجزیه کنیم .
مثال عبارت های زیر را تجزیه کنید :
[math]1){x^3} + 8 \\ {x^3} + 8 = {x^3} + {2^3} = (x + 2)({x^2} – 2x + 4) \\ \\[/math]
[math]2){x^3} + {y^3} + {x^2} – {y^2}[/math]
برای تجزیه عبارت بالا ابتدا آن را دسته بندی می کنیم بصورت زیر خواهد بود :
[math] ({x^3} + {y^3}) + ({x^2} – {y^2}) [/math]
اکنون عبارت [math] ({x^3} + {y^3}) [/math] با استفاده از اتحاد چاق و لاغر و عبارت دیگر یعنی
[math] ({x^2} – {y^2})[/math] را با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه می کنیم
[math] (x + y)({x^2} – xy + {y^2}) + (x + y)(x – y) \\ [/math]
عبارت بالا باز هم قابلیت تجزیه را دارد پس اگر دقت کنیم عامل [math]x+y[/math] اینجا یک عامل مشترک هست که می توانیم ازش فاکتور بگیریم تا عبارت ما بصورت زیر تجزیه شود :
[math] (x + y)({x^2} – xy + {y^2} + x – y)[/math]
ما در عبارت بالا یادگرفتیم که در تجزیه ممکن است از روشهای ترکیبی برای تجزیه عبارت استفاده کنیم همانطور که در مساله بالا از اتحاد چاق و لاغر و اتحاد مزدوج استفاده کردیم و سپس باز هم مجبور شدیم برای تجزیه بیشتر از فاکتور گیری هم استفاده کنیم .
8-تجزیه به اتحاد مکعب دو جمله ای
این اتحاد بصورت زیر بود :
[math]{(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \\ {(a – b)^3} = {a^3} – 3{a^2}b + 3a{b^2} – {b^3} \\[/math]
هر گاه یک چهار جمله ای داشته باشیم که دارای دو جمله با توان 3 و دو جمله با توان 2 باشد اینجا باید اتحاد مکعب دو جمله ای را بررسی کنیم و ببینم آیا این چهار جمله ای را می توان به فرم اتحاد مکعب دو جمله ای تجزیه کرد.
مثال عبارت های زیر را تجزیه کنید :
[math] 1)8{x^3} – 12{x^2} + 6x – 1[/math]
با نگاه اولیه به عبارت بالا می توانیم بفهیم که جمله اول یعنی[math] 8{x^3} [/math] و جمله آخر عدد یک در واقع توان های از سه هستند که بصورت زیر خواهند بود :
[math] {(2x)^3} – 12{x^2} + 6x – {(1)^3} [/math]
حالا می رسیم به جمله های وسط ، این جمله ها باید توان 2 داشته باشند و همجنین باید حاصلضربی از جملات اول و آخر عبارت باشند :
[math] {(2x)^3} – 3 \times {(2x)^2} + 3 \times 2x \times {1^2} – {(1)^3} [/math]
اکنون با توجه به تجزیه عبارت بالا می فهمیم که این اتحاد مکعب دو جمله ای است :
[math] {(2x)^3} – 3 \times {(2x)^2} + 3 \times 2x \times {1^2} – {(1)^3} = {(2x – 1)^3} [/math]
[math] 2)27- 125{x^3} – 135x + 225{x^2} [/math]
ابتدا عبارت بالا را باید مرتب کنیم ،عبارت بالا توان 3 دارد در واقع دو عدد مکعب دارد و همچنین توان 2 هم دارد می دانیم که 27 یعنی 3 به توان 3 است پس:
[math] 27 – 135x + 225{x^2} – 125{x^3} = {3^3} – 135x + 225{x^2} – {(5x)^3}[/math]
گام بعدی تشخیص دهیم آیا توانهای مربع جمله اول و آخر در هم ارتباطی دارند یا ضرب شده اند
[math]{3^3} – 135x + 225{x^2} – {(5x)^3} = {3^3} – 3 \times {3^2} \times 5x + 3 \times 3 \times {(5x)^2} – {(5x)^3} = \\ {(3 – 5x)^3} \\[/math]
9-تجزیه به کمک شکستن برخی جملات یا روش خرد کردن
در این روش بعضی از جملات را به صورت مجموع یا تفاضل دو جمله دیگر می نویسیم، سپس می توان آن را با دسته بندی مجدد تجزیه کرد ، این روش یکی از سخت ترین روشهای تجزیه می باشد زیرا بستگی به حدس و گمان تجربه شما دارد که چگونه می توانید تشخیص دهید که چه چیزی را باید اضافه کنید.
با چند مثال این روش را توضیح می دهیم.
مثال:
[math] 1)2{x^2} + 3x + 1[/math]
مثال بالا را می توانیم به روشهای مختلفی حل کنیم اما من ابتدا با روش شکستن جملات میخواهم این عبارت را تجزیه کنم :
[math] 2{x^2} + 3x + 1 = 3{x^2} – {x^2} + 3x + 1[/math]
در عبارت بالا من ضریب ایکس به توان 2 را خرد کردم حالا از اینجا به بعد می توانم با استفاده از فاکتورگیری و روشهای دیگر عمل تجزیه را انجام بدم :
[math]3{x^2} – {x^2} + 3x + 1 = (3{x^2} + 3x) + ( – {x^2} + 1) = (3{x^2} + 3x) – ({x^2} – 1) \\3x(x + 1) – (x – 1)(x + 1) = (x + 1)(3x – x + 1) \\[/math]
در تجزیه بالا دقت کنید که چگونه با استفاده از خرد کردن عمل تجزیه را انجام دادیم بعد از خرد کردن جملات توانستیم با استفاده از فاکتور گیری و اتحاد مزدوج عمل تجزیه را انجام دهیم .البته همین عبارت را می توانستیم با روشهای دیگر نیز تجزیه کنیم ، اما هدف من اینجا آموزش همین روش است .
[math] 2)2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 [/math]
در مثال بالا [math]-5x[/math] را باید تفکیک کنیم که بصورت زیر خواهد بود :
[math] 2{x^3} + {x^2} – 5x + 2 = 2{x^3} + {x^2} – 2x – 3x + 2[/math]
اکنون باید چند جمله ای بالا را دسته بندی و مرتب کنیم تا بتوانیم عمل تجزیه را ادامه دهیم
[math] 2{x^3} + {x^2} – 2x – 3x + 2 = 2{x^3} – 2x + {x^2} – 3x + 2[/math]
خوب الان تجزیه را بصورت زیر انجام می دهیم عبارت [math] 2{x^3} – 2x[/math] بصورت زیر تجزیه می کنیم:
[math] 2{x^3} – 2x = 2x({x^2} – 1) = 2x(x – 1)(x + 1)[/math]
در عبارت بالا ابتدا فاکتور گیری می کنیم و سپس با استفاده از اتحاد مزدوج تجزیه می کنیم
اکنون نوبت سه جمله دیگر می رسه که باید تجزیه کنیم [math] {x^2} – 3x + 2[/math] این عبارت با استفاده از اتحاد جمله مشترک تجزیه می شود دو عددی باید پیدا کنیم که ضرب آنها مثبت 2 و جمع آنها منفی 3 شود داریم:
[math] {x^2} – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)[/math]
خوب حالا کل عبارت را با هم می نویسیم تا ببینیم حاصل تجزیه ما به کجا رسید
[math] 2{x^3} – 2x + {x^2} – 3x + 2 = 2x(x – 1)(x + 1) + (x – 1)(x – 2)[/math]
این عبارت باز هم قابل تجزیه هست و عامل [math]x-1[/math] را می توانیم فاکتور بگیریم
[math] 2x(x – 1)(x + 1) + (x – 1)(x – 2) = (x – 1)[2x(x + 1) + x – 2][/math]
عبارت بالا باز هم قابلیت تجزیه را دارد حاصل عبارت [math] 2x(x + 1) + x – 2 [/math] را باید ضرب کنیم خواهیم داشت که :
[math] (x – 1)[2x(x + 1) + x – 2] = (x – 1)(2{x^2} + 3x – 2)[/math]
مجددا با عبارت [math] 2{x^2} + 3x – 2[/math] مواجه می شویم که باید با روش A آن را تجزیه کنیم
[math] (x – 1)(2{x^2} + 3x – 2) = (x – 1)(x + 2)(2x – 1)[/math]